[答105] 正方形の個数

[答105] 正方形の個数


　図のように６行６列に等間隔に並んだ 36個の点のうちの４個を頂点とする正方形の個数は？


[解答]

　一般化し、ｎ行ｎ列に等間隔に並んだ n² 個の点のうちの４個を頂点とする正方形で求めます。

　図のように、縦横長さがｋの正方形１つについて、

　それ自身とその辺上の４点でできる正方形の数はｋ個あります。

　縦横長さがｋの正方形は (n－k)² 個あるから、

　全部で、(n－k)²k＝n²k－2nk²＋k³ 個。

　k＝1，2，3，……，n－1 として、その和を求めると、
　_n-1
　Σ（n²k－2nk²＋k³)＝n²･(n－1)n/2－2n･(n－1)n(2n－1)/6＋(n－1)²n²/4
　^k=1
　 ＝n²(n－1){ 6n－4(2n－1)＋3(n－1) }/12＝n²(n－1)(n＋1)/12 個となります。

　n＝6 のとき、6²(6－1)(6＋1)/12＝105 個となります。

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