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[答105] 正方形の個数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答105] 正方形の個数


 図のように6行6列に等間隔に並んだ 36個の点のうちの4個を頂点とする正方形の個数は?


[解答]

 一般化し、n行n列に等間隔に並んだ n2 個の点のうちの4個を頂点とする正方形で求めます。

 図のように、縦横長さがkの正方形1つについて、

 それ自身とその辺上の4点でできる正方形の数はk個あります。

 縦横長さがkの正方形は (n-k)2 個あるから、

 全部で、(n-k)2k=n2k-2nk2+k3 個。

 k=1,2,3,……,n-1 として、その和を求めると、
 n-1
 Σ(n2k-2nk2+k3)=n2・(n-1)n/2-2n・(n-1)n(2n-1)/6+(n-1)2n2/4
 k=1
  =n2(n-1){ 6n-4(2n-1)+3(n-1) }/12=n2(n-1)(n+1)/12 個となります。

 n=6 のとき、62(6-1)(6+1)/12=105 個となります。

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Comments 5

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ヤドカリ  
No title

鍵コメ様へ^^
> この式は知る人は知る公知の式ですか?
> やどかりさんが今捻出したものですか?
とのご質問がありましたので、お答えします。
この式は、私が問題にする前に、多分、誰かが導き出していると思います。
これ位の式は、高校程度の数学に精通すれば、導くのにさほどの困難はありません。
解答のコメントにもこの式を導いていたものもありました。
私はこの式を導き、n=6 のときに105になるので、105番の問題にしました。

tsuyoshik1942  
No title

回答ありがとうございます。

自分は数え上げでした。もしn=10でも数え上げ、20なら??
導きの手法、感じ入っております。

tsuyoshik1942  
No title

またも、結局数え上げでした。
他サイトの今日(20120726)の問題、どこかでお遭いした記憶あれど、ほどけず、結局またも工夫なしに、単純に数え上げました。
掲示板からここに着地し唖然としました。
このとき、見事な式導入と感じ入ったのに、身についていませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、古い記事へのコメントを有難う御座います。
この問題が役立った様子ですので、嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、古い記事へのコメントを有難う御座います。
人間、忘れ易いものですね。
次にどこかのサイトで出題されたら、この式を思い出して頂けるでしょう。