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[答1083] 凸38角形と17角形

ヤドカリ

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[答1083] 凸38角形と17角形


 与えられた凸38角形の頂点のうち17個を頂点とする17角形のうち、

 もとの凸38角形と辺を共有しないものの個数は?


[解答1]

 凸38角形の頂点に左回りに 0,1,2,3,……,37 と番号をつけ、

 17角形の頂点である凸38角形の頂点の番号を小さい順に、A0,A1,A2,A3,……,A16 とします。

 また、ak=Ak+1-Ak-2≧0 (k=0,1,2,……,15) とします。

 A0=0 のとき A16≦36 なので、

 a0+a1+a2+a3+……+a15≦4 を満たす (a0,a1,a2,a3,……,a15) の総数は、

 a0+a1+a2+a3+……+a15+b=4 を満たす (a0,a1,a2,a3,……,a15,b) の総数と等しく、174 です。

 A0>0 のとき a=A0-1 とします。A16≦37 なので、

 a+a0+a1+a2+a3+……+a15≦4 を満たす (a,a0,a1,a2,a3,……,a15) の総数は、

 a+a0+a1+a2+a3+……+a15+b=4 を満たす (a,a0,a1,a2,a3,……,a15,b) の総数と等しく、184 です。

 よって、求める17角形の個数は、174184=4845+5985=10830 です。


[解答2]

 ある1点を固定し、A0 とします。

 17角形A0A1A2A3……A16 を決めるのに、

 A0A1,A1A2,A2A3,……,A16A0 の間の

 凸38角形の辺の本数を x1,x2,x3,……,x17 とすれば、

 x1+x2+x3+……+x17=38 、

 (x1-2)+(x2-2)+(x3-2)+……+(x17-2)=4 だから、

 (x1,x2,x3,……,x17) の総数は、174=4845 です。

 固定する点の決め方が 38通り、同じ17角形を 17回ずつ数えることになるので、

 38・4845/17=38・285=10830 です。


[参考]

 n≧2m として、凸n角形と 頂点を共有し辺を共通しない m角形の個数は、

 n・mn-2m/m=n・n-m-1n-2m/m

 =n・(n-m-1)!/{(m-1)!・(n-2m)!・m}=(n-m-1)!・n/{m!・(n-2m)!} です。

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Comments 6

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スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
もやもやが続いてましたが...
[解法2]はなるほどぉ~でした☆
17と38と互いに素だから…一つのフォルムの17個の頂点がA0になる場合=17回重なってるわけなのねぇ...こういう発想ができるようになりたいものです ^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
モヤモヤがすっきりされたというコメントは嬉しいです。

tsuyoshik1942  
No title

解開示日が、今までと一日ずれていますが、たまたまですか?

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントをありがとうございます。
解答説明の日を1日間違えてしまいました。
年度替わりで、勘違いしてしまいました。

ひとりしずか  
No title

きれいなつつじ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
トサノミツバツツジというツツジです。
3月ごろから綺麗に咲いています。