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[答1084] 最大値・最小値

ヤドカリ

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[答1084] 最大値・最小値


 実数 x,y が x2+y2-18x-14y+117=0 を満たすとき、

 (6x2+16xy+24y2)/(x2+4y2) の最大値と最小値は?


[解答1]

 y=mx とおけば、x2+m2x2-18x-14mx+117=0 、

 (m2+1)x2-2(7m+9)x+117=0 、

 xは実数だから、(7m+9)2-117(m2+1)≧0 、-68m2+126m-36≧0 、

 34m2-63m+18≦0 、(17m-6)(2m-3)≦0 、6/17≦m≦3/2 です。

 次に、x=0 とすると y2-14y+117=0 よりyは実数でないので、x≠0 です。

 (6x2+16xy+24y2)/(x2+4y2)=(6x2+16mx2+24m2x2)/(x2+4m2x2)

  =(6+16m+24m2)/(1+4m2)=16m/(1+4m2)+6=16/(1/m+4m)+6 です。

 ここで、m>0 において、1/m+4m≧2√{(1/m)(4m)}=4 で、等号は 1/m=4m のときに成り立ち、

 m=1/2 のとき最小、m<1/2 のとき単調減少、1/2<m のとき単調増加です。

 m=1/2 のとき 1/m+4m=4 ,m=6/17 のとき 1/m+4m=433/102 ,m=3/2 のとき 1/m+4m=20/3 、

 6/17≦m≦3/2 だから、1/m+4m の最小値は 4 ,最大値は 20/3 です。

 従って、16/(1/m+4m)+6 の最大値は 16/4+6=10 、最小値は 16/(20/3)+6=8.4 です。


[解答2]

 x2+y2-18x-14y+117=0 は (x-9)2+(y-7)2=13 と表され、

 2y=kx とすれば、この直線と共有点をもつkの範囲は、

 (9,7)と kx-2y=0 の距離が √13 以下であればよいので、

 |9k-14|/√(k2+4)≦√13 、(9k-14)2≦13(k2+4) 、68k2-252k+144≦0 、

 17k2-63k+36≦0 、(17k-12)(k-3)≦0 、12/17≦k≦3 です。

 (6x2+16xy+24y2)/(x2+4y2)=(6x2+8kx2+6k2x2)/(x2+k2x2)=(6+8k+6k2)/(1+k2)=6+8k/(1+k2) 、

 k=tanθ (0<θ<π/2) とおけば、6+8k/(1+k2)=6+4sin2θ 、

 12/17≦tanθ≦3 より tanα=12/17 ,tanβ=3 (0<α<π/4<β<π/2) とおけば、

 1/tanβ=1/3<tanα より π/2-β<α 、π-2β<2α 、sin2β≦sin2θ≦1 になり、

 sin2β=2・3/(1+32)=3/5 だから、3/5≦sin2θ≦1 、12/5≦4sin2θ≦4 、42/5≦6+4sin2θ≦10 、

 よって、最大値は 10 ,最小値は 42/5=8.4 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

レンギョウですネ
我が家のレンギョウ策始です!
花の季節が大阪との差がつまって来たような……

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
連翹 黄色の小さな花が連なって奇麗ですね
花が先に咲き出し葉っぱが後で出てくるので
黄色の花がよく目立ちますね

ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
レンギョウきれいですね~♪(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

レンギョの花ですね。
黄色の色が濃くて素敵です。
いまいちばんきれいに咲いていると気かしら~~?

ナイス☆

樹☆  
No title

こんにちは
今日は朝から雨模様です。
我が家にも押し木したものが
今年はいっぱい咲いて嬉しかったです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
Minの求め方がわかりませんでした…^^;
流れはわかりましたが…後半が難しぃ…^^;;
熟読玩味ぃ~Orz...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらでもレンギョウが咲き出しましたか。
こちらは満開になっています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントをありがとうございます。
連翹は桜と同じで葉が後ですね。
ピンクと黄色の違いはありますが、目に鮮やかです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
其方も気候がよく似ていますので、
たくさんのレンギョウが咲いていることでしょう。
春らしいですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
まさに、桜と同じで今がいちばんの見頃だと思います。
気象情報では、北海道の気温も高くなってきましたね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらは今日は一日中曇っていました。明日は雨になるそうです。
ところで、黄色いっぱいのレンギョウは春らしいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
最小値は難しかったかも知れません。
でも、解れば何でもないことですので、確認してみて下さい。

ニリンソウ  
No title

我が家もご近所もレンギョで黄色!
桜は5分咲きそちらに追いつきそう~また追い越されるかな 笑

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
こちらの桜は散り始め、どんどん季節が進んでいきます。