FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1085] 関数方程式

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1085] 関数方程式


 すべての自然数m,nについて f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn が成り立つ関数 f(x) があります。

 f(3)=21 のとき f(31)=?


[解答]

 f(m+1)=f(m)+f(1)+2m だから、f(m+1)-f(m)=f(1)+2m 、

 n≧2 のとき m=1,2,3,……,(n-1) として加えると、

 f(n)-f(1)=(n-1)f(1)+(n-1)n 、f(n)=nf(1)+(n-1)n になり、

 この式は n=1 のときも成り立ちます。

 また、

 f(m+n)=(m+n)f(1)+(m+n-1)(m+n)=(m+n)f(1)+(m2+2mn+n2-m-n)

  =mf(1)+(m-1)m+nf(1)+(n-1)n+2mn=f(m)+f(n)+2mn 、

 f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn が成り立ちます。

 f(3)=3f(1)+(3-1)・3=3f(1)+6=21 だから、f(1)=5 、

 f(n)=5n+(n-1)n=n(n+4) になり、f(31)=31・35=1085 です。


[参考]

 図のように、1+2+3+……+(n-1) 個の[2] と n 個の[5] を三角形状に並べ、

 その数字の和を f(n) とすれば、f(n)=(n-1)n+5n=n(n+4) になり、f(3)=21 です。

 自然数m,nについて f(m+n)=f(m)+f(n)+2mn が成り立つことが分かります。

 これをもとに作問しました。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

こんなにたくさんのチューリップ当方では観れないです!
壮観です

アキチャン  
No title

おはようございます。
赤いチューリップ、かわいいですね~♪(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
No title

いっぱい並んだチューリップ・・・
きれいですね。
私の街では5月末に咲きます。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

咲いた咲いたチューリップ
こちらも色が出てきましたよ、すぐですよ。
今日は暖かくなりました。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは気づけました ^^v
[参考]の意味了解☆
[5]にしたとき、上手い具合に1085となるわけですのね♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ありふれた花ですが、集まると目を惹きます。
春らしい花ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ちょっと薄い赤のチューリップです。
見慣れているけど、形が可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
5月末ですか、道東では。
こちらでの花冷えが、そのころのリラ冷えなんですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
新潟はチューリップがたくさん見られるそうで、
今から楽しみですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
問題自体は易しいと思いますが、
[参考]のように考えてやっと出来た問題でした。