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[答1086] 120倍に1を加えると平方数

ヤドカリ

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[答1086] 120倍に1を加えると平方数


 1・120+1=121,3・120+1=361,7・120+1=841,8・120+1=961,…… のように、

 120倍に1を加えると平方数になる自然数を小さい順に並べて、数列 1,3,7,8,…… を作ります。

 このとき、この数列の第48項は? また、第480項は? 更に、第4800項は? 


[解答]

 できる平方数は奇数ですので、(2k+1)2=4k(k+1)+1 で表され、

 題意より k(k+1)/30 が自然数になるものを小さい方から並べることになります。

 k(k+1) は必ず偶数になりますので、k(k+1) は 15の倍数になればよいことになり、

 k≡-10,-6,-1,0 (mod 15) 、k=15n-10,15n-6,15n-1,15n と表されます。

 k=15n-10 のとき k(k+1)/30=(15n-10)(15n-9)/30=(3n-2)(5n-3)/2 、

 k=15n-6 のとき k(k+1)/30=(15n-6)(15n-5)/30=(5n-2)(3n-1)/2 、

 k=15n-1 のとき k(k+1)/30=(15n-1)・15n/30=(15n-1)n/2 、

 k=15n のとき k(k+1)/30=15n(15n+1)/30=n(15n+1)/2 になります。

 従って、第(4n-3)項は (3n-2)(5n-3)/2 ,第(4n-2)項は (5n-2)(3n-1)/2 ,

 第(4n-1)項は (15n-1)n/2 ,第(4n)項は n(15n+1)/2 です。

 第(48m)項は 12m(15・12m+1)/2=6m(180m+1)=(1080m+6)m ですので、

 m=1 として 第48項は (1080・1+6)・1=1086 、

 m=10 として 第480項は (1080・10+6)・10=108060 、

 m=100 として 第4800項は (1080・100+6)・100=10800600 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

あら、たんぽぽ
白と黄色が仲良く並んで
白は一度だけ見たことあったような……

アキチャン  
No title

こんにちわ。
たんぽぽ、あちこちで見られるようになりましたね。かわいい(o^-^o)
白は未だに北海道で1度見ただけですが。。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
似たような感じで考えたと思いますが…
すでに自分の解法がトレースしにくかったりします…^^;
はしょり過ぎてる酬いなんですが...なかなかこの癖は治りません Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ありふれた花ですが、タンポポは馴染みがあるだけに落ち着きます。
白は関西や九州にはけっこうあります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
シロバナタンポポは大阪城公園によく咲いています。
中でも、梅の花が終わった梅林の根元に多いです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
解法は他の方が見ても分かるように、説明するように書くのが良いと思います。
本問は答が問題番号に合うように上手く見つけた問題です。

樹☆  
No title

こんばんは
白たんぽぽ見つけたときは、ラッキーと
思わず口からでてしまいます。
大阪公園に多いのですか?いいなぁ~~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
お久しぶりです。
シロバナタンポポは見られる場所では毎年見られます。
大阪城公園はこの時期、いい場所です。