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[答1087] 2倍の角をもつ三角形

ヤドカリ

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[答1087] 2倍の角をもつ三角形


 3辺の長さが自然数で 最長の辺が 12 で、2つの内角の比が 1:2 である三角形について、

 この三角形が鋭角三角形であるとき内接円の半径は?

 また、鈍角三角形であるとき内接円の半径は?


[解答1]

 △ABCにおいて、∠A=2∠C とし、∠Aの二等分線と△ABCの外接円との交点をDとします。

 ∠ACB=∠BAD=∠DAC だから AB=BD=DC 、四角形ABECは等脚台形なので 対角線 AD=BC です。

 トレミーの定理より、BC・AD=AB・DC+BD・CA 、BC・BC=AB・AB+AB・CA 、BC2=(AB+CA)・AB です。

 AB+CA,AB の最大公約数を k とすれば、

 自然数 m,n を用いて AB+CA=k(m+n)2,AB=kn2 と表され、

 BC=k(m+n)n,CA=km(m+2n),AB=kn2 になります。

 ここで、AB<BC ,AB+CA>BC なので、三角形ができるためには、AB+BC>CA 、

 kn2+k(m+n)n>km(m+2n) 、m(m+2n)<n2+(m+n)n 、m2+mn-22<0 、

 (m+2n)(m-n)<0 、よって、m<n です。

 m≧2 のとき n≧3 、BC=k(m+n)n≧15k≧15 ですので題意に合いませんので、m=1 、

 n=2 ならば (BC,CA,AB)=(6k,5k,4k) 、n=3 ならば (BC,CA,AB)=(12k,7k,9k) 、

 n≧4 のとき BC=k(m+n)n≧20k≧20 ですので題意に合いません。

 結局、最長の辺が 12 になるのは、次の2通りです。

 (k,m,n)=(2,1,2) のとき (BC,CA,AB)=(12,10,8) の鋭角三角形

 (k,m,n)=(1,1,3) のとき (BC,CA,AB)=(12,7,9) の鈍角三角形

 内接円の半径を r とすれば、

 鋭角三角形のとき (12+10+8)/2=15 、r=√{(15-12)(15-10)(15-8)/15}=√7 、

 鈍角三角形のとき (12+7+9)/2=14 、r=√{(14-12)(14-7)(14-9)/14}=√5 です。


[解答2]

 ∠C=θ とすれば、∠A=2θ,∠B=π-3θ です。正弦定理より、

 BC:CA:AB=sin2θ:sin(π-3θ):sinθ=sin2θ:sin3θ:sinθ

  =2sinθcosθ:(3sinθ-4sin3θ):sinθ=2cosθ:(3-4sin2θ):1

  =2cosθ:{3-4(1-cos2θ)}:1=2cosθ:(4cos2θ-1):1

 ここで、0<3θ<π より 0<θ<π/3 、2cos0>2cosθ>2cos(π/3) 、2>2cosθ>1 、

 2cosθ=1+m/n とおけば、0<m<n で、

 BC:CA:AB=2cosθ:(4cos2θ-1):1=(1+m/n):{(1+m/n)2-1}:1

  =(1+m/n)n2:{(1+m/n)2-1}n2:n2=(n+m)n:{(n+m)2-n2}:n2

  =(n+m)n:m(m+2n):n2 になります。

 m,n は互いに素ですので、BC:CA:AB はこれ以上簡単にならず、

 m≧2 のとき n≧3 、(n+m)n≧15 で題意に合いませんので、m=1 、

 BC:CA:AB=(n+1)n:(2n+1):n2

 n=2 のとき BC:CA:AB=6:5:4 、n=3 のとき BC:CA:AB=12:7:9 、

 n≧4 のとき (n+1)n≧20 ですので題意に合いません。

 結局、最長の辺が 12 になるのは、次の2通りです。

 BC:CA:AB=6:5:4 について (BC,CA,AB)=(12,10,8) の鋭角三角形

 BC:CA:AB=12:7:9 について (BC,CA,AB)=(12,7,9) の鈍角三角形

 内接円の半径を r とすれば、

 鋭角三角形のとき (12+10+8)/2=15 、r=√{(15-12)(15-10)(15-8)/15}=√7 、

 鈍角三角形のとき (12+7+9)/2=14 、r=√{(14-12)(14-7)(14-9)/14}=√5 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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ハナズオウ満開なんですネ

ゆうこ つれづれ日記  
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可愛い色のお花ですね。

道東では見られないお花です。

お花から気温の高さが感じられるわー
ナイス☆

アキチャン  
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こんにちわ。
綺麗ですね~♪満開のお花を見ると嬉しくなります(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
葉桜の頃、少し遅れて濃いピンクが目につきます。
ハナズオウは今がいちばん綺麗です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
北海道はまだ無彩色の景色が多いのでしょうか?
ハナズオウの咲くころはもう寒さからは解放されます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アキチャンさんのブログにはこの色が多いのでは?
満開の花はそれだけで綺麗ですね。

ニリンソウ  
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ホントに木肌にくっつくように咲く
面白い花ですよね。

ナイス

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
昨日はビール飲んだら爆睡してしまってましたぁ ^^;
これは手が出ませんでした…^^;;
[解答2]はなんとか理解できましたが...わたしには難し…
but...こういうのが解けるようになりたいなぁ ^^☆

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、木肌にくっつくように咲きますね。
他にこんな花があるのかどうか知りません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
角が2倍という条件があれば、長さの比が限定されます。
その形を求めたら、解ける問題です。