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[答1088] 直角二等辺三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1088] 直角二等辺三角形


 図のように、182=324 個の等間隔に並んだ点があり、

 上下または左右に隣り合う2点の距離を1とします。

 このうちの3個の点を頂点とする直角二等辺三角形のうち、面積が1であるものは何個?

 また、直角二等辺三角形は全部で何個?


[解答1]

 一般化して、点の個数を n2 個とします。

 これらの点は縦n本,横n本の間隔が1である平行線上に並んでいます。

 この直線のうち、縦2本,横2本を選んでできる 1×2 または 2×1 の長方形は

 2(n-1)(n-2) 個あり、その中にできる面積が1の直角二等辺三角形は2個ずつあるので、

 全部で 4(n-1)(n-2) 個になります。

 次に、この直線のうち、縦2本,横2本を選んでできる長方形は全部で (n2)2=n2(n-1)2/4 個です。

 また、長方形の 縦の長さを p,横の長さを q として、

 p<q/2 または 2q<p であるものの集合をA,

 p=q/2 または 2q=p であるものの集合をB,

 q/2<p<2q であるものの集合をC とすると、

 1つ(以上)の頂点が 長方形の頂点で、他の頂点が長方形の辺上にある直角二等辺三角形で、

 Aの長方形にはありませんが、Bの長方形には2個ずつ,Cの長方形には4個ずつあります。

 よって、n(A)+n(B)+n(C)=n2(n-1)2/4 で、

 直角二等辺三角形の総数は 2n(B)+4n(C) です。

 更に、縦の長さが p,横の長さが q である長方形は (n-p)(n-q) 個あります。

 次に、横の長さが k ,縦の長さが k 未満の長方形のうち、

 k が偶数のとき、Aに属するものの個数の2倍とBに属するものの個数の和は

 2{(n-k)(n-1)+(n-k)(n-2)+……+(n-k)(n-k/2+1)}+(n-k)(n-k/2)

  =2(n-k){(n-1)+(n-2)+……+(n-k/2+1)}+(n-k)(n-k/2)

  =2(n-k)(n-1+n-k/2+1)(k/2-1)/2+(n-k)(n-k/2)

  =(n-k)(2n-k/2)(k/2-1)+(n-k)(n-k/2)

  =(n-k)(4n-k)(k-2)/4+(n-k)(4n-2k)/4

  ={k3-5nk2+4n(n+1)k-4n2}/4

 k が奇数のとき、Aに属するものの個数の2倍とBに属するものの個数の和は

 2{(n-k)(n-1)+(n-k)(n-2)+……+(n-k)(n-[k/2])}+0

  =2(n-k){(n-1)+(n-2)+……+(n-[k/2])}

  =2(n-k)(n-1+n-[k/2])[k/2]/2=(n-k)(2n-1-[k/2])[k/2]

  =(n-k)(4n-2-2[k/2])(2[k/2])/4=(n-k)(4n-1-k)(k-1)/4

  ={k3-5nk2+4n(n+1)k-4n2}/4+(n-k)/4

 これを k=1,2,……,(n-1) として加えると、n(A)+n(B)/2 になり、

 4n(A)+2n(B)=(n-1)2n2/4-5n2(n-1)(2n-1)/6+4n2(n+1)(n-1)/2-4n2(n-1)+S 、

 ここで、S=(n-1)+(n-3)+…… である正の数の和で、

 nが偶数であれば奇数の和で、S=(n-1+1)n/2/2=n2/4 、

 nが奇数であれば偶数の和で、S=(n-1+2)(n-1)/2/2=(n2-1)/4 、

 nが偶数のとき e=1 ,nが奇数のとき e=0 とすれば S=(n2-1+e)/4 です。

 4n(A)+2n(B)=n2(n-1){(n-1)/4-5(2n-1)/6+4(n+1)/2-4}+(n2-1+e)/4

  =n2(n-1){3(n-1)-10(2n-1)+24(n+1)-48}/12+(n2-1+e)/4

  =n2(n-1)(7n-17)/12+(n2-1)/4+e/4 、

 よって、n(A)+n(B)+n(C)=n2(n-1)2/4 で、

 2n(B)+4n(C)=4{n(A)+n(B)+n(C)}-{4n(A)+2n(B)}

  =n2(n-1)2-n2(n-1)(7n-17)/12-(n2-1)/4-e/4

  =n2(n-1){12(n-1)-(7n-17)}/12-(n2-1)/4-e/4=n2(n-1)・5(n+1)/12-3(n2-1)/12-e/4

  =(n2-1)(5n2-3)/12-e/4=[(n2-1)(5n2-3)/12] です。

 まとめると、直角二等辺三角形の個数は、

 面積が1のものは 4(n-1)(n-2) 個,総数は [(n2-1)(5n2-3)/12] 個です。

 n=18 のとき、面積が1のものは 4・17・16=1088 個,

 総数は [(182-1)(5・182-3)/12]=[323・1617/12]=43524 個です。


[解答2]

 一般化して、点の個数を n2 個とします。

 これらの点は縦n本,横n本の間隔が1である平行線上に並んでいます。

 この直線のうち、縦2本,横2本を選んでできる p×q の長方形は (n-p)(n-q) 個あります。

 1×2 または 2×1 の長方形は 2(n-1)(n-2) 個あり、その中にできる面積が1の

 直角二等辺三角形は2個ずつあるので、全部で 4(n-1)(n-2) 個になります。

 次に、直角二等辺三角形全部の個数を求めます。

 縦2本,横2本の直線でできる正方形は、(n-1)×(n-1),(n-2)×(n-2),……,1×1 の

 順に数えれば、12+22+……+(n-1)2=(n-1)n(2n-1)/6 個で、

 正方形の頂点3個を頂点とする直角二等辺三角形は4個ずつで、2(n-1)n(2n-1)/3 個です。

 p>q で p,q が両方奇数または両方偶数として、

 p×q の長方形の対角線を 直角二等辺三角形の斜辺として考えます。

 対角線のうち、右上がりのものが (n-p)(n-q) 本、そのうち、(n-p)2 本については

 上下に直角二等辺三角形ができますので、直角二等辺三角形の個数は、

 (n-p)(n-q)+(n-p)2=(n-p)(2n-p-q) 、右下がりのものも加えて 2(n-p)(2n-p-q) です。

 q=0 の場合も同様に考えられますが、右上がり右下がりの区別がないので、(n-p)(2n-p) です。

 p が奇数のとき、q=1,3,……,p-2 として 2(n-p)(2n-p-q) を加えれば、

 {2(n-p)(2n-p-1)+2(n-p)(2n-p-p+2)}{(p-1)/2}/2

  ={(n-p)(2n-p-1)+(n-p)(2n-p-p+2)}(p-1)/2

  =(n-p)(2n-p-1+2n-p-p+2)(p-1)/2=(n-p)(4n-3p+1)(p-1)/2

  =(n-p)(4np-3p2+4p-4n-1)/2 、

 p が偶数のとき、q=2,4,……,p-2 として 2(n-p)(2n-p-q) を加えれば、

 {2(n-p)(2n-p-2)+2(n-p)(2n-p-p+2)}{(p-2)/2}/2

  ={(n-p)(2n-p-2)+(n-p)(2n-p-p+2)}(p-2)/2

  =(n-p)(2n-p-2+2n-p-p+2)(p-2)/2=(n-p)(4n-3p)(p-2)/2

  =(n-p)(4np-3p2+6p-8n)/2 、

  q=0 のときの (n-p)(2n-p)=(n-p)(4n-2p)/2 を加えれば、

  (n-p)(4np-3p2+4p-4n)/2 になります。

 これを p=1,2,……,n-1 として加えれば、p>q の場合の直角二等辺三角形の個数です。

 (n-p)(4np-3p2+4p-4n)/2 を p=1,2,……,n-1 として加えたものを A 、

 (n-p)/2 を p=1,3,…… と n-1 以下の奇数として加えたものを B とすれば、

 A-B が p>q の場合の直角二等辺三角形の個数です。

 (n-p)(4np-3p2+4p-4n)/2={(4n2+8n)p-(7n+4)p2-4n2+3p3}/2 より、

 A={(4n2+8n)(n-1)n/2-(7n+4)(n-1)n(2n-1)/6-4n2(n-1)+3(n-1)2n2/4}/2

  =(n-1)n{6(4n2+8n)-2(7n+4)(2n-1)-48n+9(n-1)n}/24

  =(n-1)n(24n2+48n-28n2-2n+8-48n+9n2-9n)/24

  =(n-1)n(5n2-11n+8)/24=(5n4-16n3+19n2-8n)/24 、

 次に、n-p に p=1,3,…… とすれば、

 nが偶数であれば n-p は n-1 以下の奇数 ,nが奇数であれば n-p は n-1 以下の偶数だから、

 その和は、nが偶数であれば n2/4 ,nが奇数であれば (n2-1)/4 、

 まとめるために nが偶数のとき e=1 ,nが奇数のとき e=0 とすれば、

 (n2-1+e)/4 、B=(n2-1+e)/8=(3n2-3+3e)/24 です。

 よって、A-B=(5n4-16n3+16n2-8n+3-3e)/24 です。

 p<q の場合も同数で、p=q のとき 2(n-1)n(2n-1)/3 なので、

 求める総数は、

 2(A-B)+2(n-1)n(2n-1)/3=(5n4-16n3+16n2-8n+3-3e)/12+(16n3-24n2+8n)/12

  =(5n4-8n2+3-3e)/12=[(5n4-8n2+3)/12]=[(n2-1)(5n2-3)/12] です。

 まとめると、直角二等辺三角形の個数は、

 面積が1のものは 4(n-1)(n-2) 個,総数は [(n2-1)(5n2-3)/12] 個です。

 n=18 のとき、面積が1のものは 4・17・16=1088 個,

 総数は [(182-1)(5・182-3)/12]=[323・1617/12]=43524 個です。


[解答3] uch*n*anさんのコメントに基いて

 一般化して、点の個数を n2 個、k=1,2,3,……,n-1 、Σはこの範囲での和とします。

 また、すべての点を含む (n-1)×(n-1) の正方形の内部および周を領域、

 4頂点すべてが領域にある正方形を純正方形、3頂点だけが領域にある正方形を準正方形、

 1辺が (k+1) 個の点からなる k×k の正方形を 枠(k) ということにします。

 直角二等辺三角形は、正方形の頂点のうち3個を頂点すればよいので、

 純正方形1個に対して直角二等辺三角形が4個,準正方形1個に対して直角二等辺三角形が1個が

 対応しますので、求める直角二等辺三角形の個数は、4(純正方形の個数)+(準正方形の個数) です。

 面積が 1 の直角二等辺三角形は 枠(2)の辺の中点を結ぶ正方形で求めればよいので、

 純正方形は (n-2)2 個,準正方形は 4(n-2) 個 ですので、

 直角二等辺三角形は 4(n-2)2+4(n-2)=4(n-1)(n-2)個 です。

 次に、枠(k) の辺上の点4個を頂点とする正方形はk個あります。

 枠(k)が領域内にあれば、k個の正方形はすべて純正方形ですので、

 枠(k)の個数は (n-k)2 個、純正方形の個数は k(n-k)2 、純正方形の総数は Σk(n-k)2 です。

 領域の上下左右いずれかの方向に、枠(k)が領域外にはみ出る場合、

 m=1,2,……,[k/2] に対して、はみ出た部分の長方形を k×m または m×k とすれば、

 m=1 のとき 枠(k)自身の頂点が2個,他の(k-1)個の正方形の頂点が1個ずつ領域外にあるので、

 準正方形は(k-1)個で、mが1増すごとに、準正方形は2個ずつ減ります。

 m=1,2,3,……,[k/2] に対する、準正方形の個数は、k-1,k-3,k-5,……,k-2[k/2]+1 で、

 その和は、(k-1+k-2[k/2]+1)[k/2]/2=(k-[k/2])[k/2] です。

 また、mのどの値についても、はみ出す枠(k)は 領域の上下左右いずれでも (n-k) 個ずつあるので、

 全部で 4(n-k) 個あり、準正方形の個数は 4(n-k)(k-[k/2])[k/2]=(n-k)(2k-2[k/2])(2[k/2]) 、

 kが偶数のとき (n-k)k2 、kが奇数のとき (n-k)(k+1)(k-1)=(n-k)k2-(n-k) です。

 ここで、k=1,3,……,2[n/2]-1 として、kが奇数のときの (n-k) の和は、

 nが奇数のとき n未満のすべての偶数の和で 2+4+……+(n-1)=(2+n-1)(n-1)/2/2=(n2-1)/4 、

 nが偶数のとき n未満のすべての奇数の和で 1+3+……+(n-1)=(1+n-1)(n-1)/2/2=n2/4 、

 nが奇数のとき e=0 ,nが偶数のとき e=1 とすれば、(n2-1+e)/4 とまとめられます。

 よって、準正方形の個数は Σ(n-k)k2-(n2-1+e)/4 です。

 直角二等辺三角形の個数は、

 4Σk(n-k)2+Σ(n-k)k2-(n2-1+e)/4=4Σ(n-k)k2+Σ(n-k)k2-(n2-1+e)/4

  =5Σ(n-k)k2-(n2-1+e)/4=5Σ(nk2-k3)-(n2-1+e)/4

  =5{n(n-1)n(2n-1)/6-(n-1)2n2/4}-(n2-1+e)/4

  =5(n-1)n2{2(2n-1)-3(n-1)}/12-3{(n2-1)+e}/12={5(n-1)n2(n+1)-3(n2-1)+3e}/12

  ={(n2-1)(5n2-3)+3e}/12=[(n2-1)(5n2-3)/12] です。

 まとめると、直角二等辺三角形の個数は、

 面積が1のものは 4(n-1)(n-2) 個,総数は [(n2-1)(5n2-3)/12] 個です。

 n=18 のとき、面積が1のものは 4・17・16=1088 個,

 総数は [(182-1)(5・182-3)/12]=[323・1617/12]=43524 個です。

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Comments 20

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

n * n の全体の正方形を A,1辺が k 個の点からなり辺が A の辺に平行な正方形を S とします。
S が A に収まる場合は,S の辺上に頂点をもつ k-1 個の正方形 1 個に対して,
直角二等辺三角形が 4 個対応します。
S が A に収まらない場合は,先ほどの S 内の正方形 1 個に対して,,
直角二等辺三角形が 1 個又は 0 個対応します。
これは,S が A の辺に対して,縦方向だけ又は横方向だけ,上下左右4方向,にずれたときです。
それぞれの方向に 1 はみ出すと先ほどの S 内の正方形が 2 個減ります。
直角二等辺三角形の面積が 1 の場合は,S の面積が 4,k = 3,の場合で,
S が A に収まるのは 4 * (n-2) * (n-2) 個,収まらないのは 1 * (n-2) * 4 個,で,
合計 4(n-2)^2 + 4(n-2) = 4(n-1)(n-2) 個,です。

uch*n*an  
No title

直角二等辺三角形全部の場合は,
S が A に収まるのは,
Σ[k=1,n]{4(k-1)(n-k+1)^2} = 4 * Σ[k=1,n]{n^2(k-1) - 2n(k-1)^2 + (k-1)^3} = n^2(n^2 - 1)/3 個。
収まらないのは,S 内の正方形が 2 個ずつ減ることより,n = 2m,n = 2m+1,に場合分けします。

uch*n*an  
No title

n = 2m の場合,
S が A からはみ出すのと,S も k を 2k-1 と 2k とに分けて置き換えて,
4 * Σ[k=1,m]{(Σ[i=1,k-1]{2i-1} * (2m-(2k-1)+1) + Σ[i=1,k]{2(i-1)} * (2m-2k+1)}
= 4 * Σ[k=1,m]{(k-1)^2 * 2(m-(k-1)) + k(k-1) * (2m-2(k-2)-3)}
= 4 * Σ[k=1,m]{2m(k-1)^2 - 2(k-1)^3 + 2mk(k-1) - 2k(k-1)(k-2) - 3k(k-1)}

uch*n*an  
No title

= 4(m^2(m-1)(2m-1)/3 - m^2(m-1)^2/2 + 2m(m+1)m(m-1)/3 - (m+1)m(m-1)(m-2)/2 - (m+1)m(m-1))
= 4(m^2(m-1)(m+1)/6 + m^2(m+1)(m-1)/6)
= 4m^2(m-1)(m+1)/3
= n^2(n^2 - 4)/12
合計 n^2(n^2 - 1)/3 + n^2(n^2 - 4)/12 = n^2(5n^2 - 8)/12 = (5n^4 - 8n^2)/12 個。

uch*n*an  
No title

n = 2m+1 の場合,
S が A からはみ出すのと,S も k を 2k+1 と 2k とに分けて置き換えて,
4 * Σ[k=1,m]{(Σ[i=1,k]{2i-1} * (2m+1-(2k+1)+1) + Σ[i=1,k]{2(i-1)}) * (2m+1-2k+1)}
= 4 * Σ[k=1,m]{k^2 * (2m+1-2k) + k(k-1) * (2m-2-2(k-2))}
= 4 * Σ[k=1,m]{(2m+1)k^2 - 2k^3 + 2(m-1)k(k-1) - 2k(k-1)(k-2)}

uch*n*an  
No title

= 4(m(m+1)(2m+1)^2/6 - m^2(m+1)^2/2 + 2(m-1)(m+1)m(m-1)/3 - (m+1)m(m-1)(m-2)/2)
= 4(m(m+1)(m^2 + m + 1)/6 + (m+1)m(m-1)(m+2)/6)
= 2m(m+1)(2m^2 + 2m - 1)/3
= (n^2 - 1)(n^2 - 3)/12
合計 n^2(n^2 - 1)/3 + (n^2 - 1)(n^2 - 3)/12 = (n^2 - 1)(5n^2 - 3)/12 = (5n^4 - 8n^2 + 3)/12 個。

uch*n*an  
No title

以上より,
面積が 1 は 4(n-1)(n-2) 個,総数は [(5n^4 - 8n^2 + 3)/12] = [(n^2 - 1)(5n^2 - 3)/12] 個,
と書けます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
傾きが1/k,2/k,…,で異なるものを数えて4倍すればいいとは思うも…
気が遠くなり思考放棄…^^;…
やっぱり上手い戦略で正確に攻めないと…^^;;
いずれにしてもわたしには手が届きませんでしたわ…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでは、ライラックが咲く季節になりました。
ムラサキハシドイという和名よりライラックが分かり易いです。
北海道ではリラ冷えという言葉もありますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳細な解答を有り難うございます。
「S が A に収まらない場合」は 結局、A 内では長方形になる場合で、
縦横の比が 1:2 を境として直角二等辺三角形ががあるかないかですね。
貴殿のコメントを読んで、私も考えてみましたが、
文章表現も難しく、解答としてまとめるのを諦めました。
奇数と偶数の場合に分けても一般化は一筋縄にはいかない問題だったと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
難しかったかも知れません。
正確な考察が必要ですね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
ピンク色もかわいいですね~♪いい香りでしょうね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この時期のライラック、花の香りがいいです。
気持ちが癒されます。

ニリンソウ  
No title

そう言えば咲いてきてるようですね。
ピンクですか~藤色のほうが良く目にしますね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
此方ではこの色のライラックをよく見かけます。
私は赤紫色だと認識していました。

ヤドカリ  
No title


[解答2]を追加しました。
面倒な解答ですが
ご覧ください。

uch*n*an  
No title

>「S が A に収まらない場合」は 結局、A 内では長方形になる場合で、
>縦横の比が 1:2 を境として直角二等辺三角形ががあるかないかですね。
はい,結局はそういうことになります。
実は私も最初に長方形を使うことを考えてはみたのですが,
いろいろなパターンが出てきて面倒そうにに思ってやめました。
この問題では,直角二等辺三角形=正方形の半分,という特殊性があるので,
それを利用して正方形を使うことにしました。
その意味で,[解答1]及び[解答2]と私の解法とでは,考え方の基本が全く違うと思います。
説明の不備は否めませんが,個人的には,
正方形を使うことで考え方が単純かつスッキリしたと思っています。
なお,より一般の三角形では長方形に分がありそうですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
「上下左右4方向,にずれたとき」は「上下左右4方向のいずれかにずれたとき」
「S の辺上に頂点をもつ k-1 個の正方形」には S が含まれていますが、
「先ほどの S 内の正方形が 2 個減り」には S 自身は含まれない、
など、私も解釈に苦労した面もあり、貴殿の解答をより分かり易く、
皆さんに紹介しようとして、日本語の表現に難しさを感じて断念しました。
貴殿が仰るように、考え方の基本が全く違うと捉えることもできますが、
私は、斜辺を決めた直角二等辺三角形がはみ出しを意味し、
結局は等価なことなんだと思ってしまいました。
貴殿の説明は図なしなので、かなり苦労されたことと思います。

ともあれ、体力を使い過ぎないようご注意ください。

uch*n*an  
No title

私のコメントを取り上げて頂き大変ありがとうございます。
少なくとも直角二等辺三角形ならば,
明示的に長方形を使わずとも解けることを示したかったので,
とてもうれしいです。
まとめるのにかなりご苦労なさったことがうかがえ大変恐縮です。
特に,用語の定義,後半の計算の簡略化,など。
本当にありがとうございました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントをありがとうございます。
コメント欄では仕方がないのですが、累乗の記号が見にくいですし、
図なしでの説明が難しいし、( )が何重にもなり、
Σも重なれば、解答を追うだけでも大変です。
ただ、体調のすぐれない中での貴殿の折角の詳しい説明を、
オリジナルとは違う形で書き換えるのは気が引けましたが、
皆さんにも見て頂きたく、可能ならまとめたいと思っていました。
説明のための言葉を工夫し、計算を簡略にすれば、
この解法が一番いいのではないかと思えました。
貴殿のご努力に負けないように意地でまとめた感もありますが、
結果的に、満足できる解答を得ることができたのは、
貴殿のおかげです。本当に有難うございました。