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[答1089] 逆順の差と和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1089] 逆順の差と和


 本問で「n桁の数」は n桁以下の自然数を意味し、n桁未満の場合は上位に 0 を補って、

 n個の数字が並んだ数とし、N の逆順を N' で表すものとします。

 例えば、N=01089 のときは N は5桁で N'=98010 です。

 いま、回文数でないn桁の数 A に対して、n桁の数 B を B=|A-A'| で定め、

 C=B+B' で表される自然数の集合を S(n) とします。

 例えば、A=01089 のとき B=|01089-98010|=96921 、C=96921+12969=109890 ですので、

 109890∈S(5) です。

 S(2)={99} ですが、S(3)=? また、S(4)=? 更に、S(5)=?


[解答]

 A>A' としても一般性を失いません。


 A を3桁の数とし、各位に数字を上から a,b,c (a>c) とします。

 A=100a+10b+c 、A'=100c+10b+a 、B=A-A'=100(a-c)+(c-a) 、

 B=100(a-c-1)+90+(10+c-a) 、B'=100(10+c-a)+90+(a-c-1) 、

 C=B+B'=100・9+180+9=1089 、S(3)={1089} です。


 A を4桁の数とし、各位に数字を上から a,b,c,d (a=d,b>c または a>d) とします。

 A=1000a+100b+10c+d 、A'=1000d+100c+10b+a 、

 B=A-A'=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+(d-a) 、

 a=d,b>c のとき

 B=100(b-c-1)+10(10+c-b) 、B'=100(10+c-b)+10(b-c-1) 、

 C=B+B'=100・9+10・9=990 で、

 a>d,c>b のとき

 B=1000(a-d-1)+100(10+b-c)+10(c-b-1)+(10+d-a) 、

 B'=1000(10+d-a)+100(c-b-1)+10(10+b-c)+(a-d-1) 、

 C=B+B'=1000・9+100・9+10・9+9=9999 で、

 a>d,c<b のとき

 B=1000(a-d)+100(b-c-1)+10(9+c-b)+(10+d-a) 、

 B'=1000(10+d-a)+100(9+c-b)+10(b-c-1)+(a-d) 、

 C=B+B'=1000・10+100・8+10・8+10=10890 で、

 a>d,c=b のとき

 B=1000(a-d-1)+900+90+(10+d-a) 、

 B'=1000(10+d-a)+900+90+(a-d-1) 、

 C=B+B'=1000・9+1800+180+9=10989 ですので、

 S(4)={990,9999,10890,10989} です。


 A を5桁の数とし、各位に数字を上から a,b,c,d,e (a=e,b>d または a>e) とします。

 A=10000a+1000b+100c+10d+e 、A'=10000e+1000d+100c+10b+a 、

 B=A-A'=10000(a-e)+1000(b-d)+10(d-b)+(e-a) 、

 a=e,b>d のとき

 B=1000(b-d-1)+900+10(10+d-b) 、B'=1000(10+d-b)+900+10(b-d-1) 、

 C=B+B'=1000・9+1800+10・9=10890 で、

 a>e,d>b のとき

 B=10000(a-e-1)+1000(10+b-d)+10(d-b-1)+(10+e-a) 、

 B'=10000(10+e-a)+1000(d-b-1)+10(10+b-d)+(a-e-1) 、

 C=B+B'=10000・9+1000・9+10・9+9=99099 で、

 a>e,d<b のとき

 B=10000(a-e)+1000(b-d-1)+900+10(9+d-b)+(10+e-a) 、

 B'=10000(10+e-a)+1000(9+d-b)+900+10(b-d-1)+(a-e) 、

 C=B+B'=10000・10+1000・8+1800+10・8+10=109890 で、

 a>e,d=b のとき

 B=10000(a-e-1)+9000+900+90+(10+e-a) 、

 B'=10000(10+e-a)+9000+900+90+(a-e-1) 、

 C=B+B'=10000・9+18000+1800+180+9=109989 ですので、

 S(5)={10890,99099,109890,109989} です。


 まとめると、S(3)={1089} ,S(4)={990,9999,10890,10989} ,S(5)={10890,99099,109890,109989} 。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

ミズバショウ当地も咲いたかな……

樹☆  
No title

おはようございます
もうミズバショウですか?
季節の移り変わりに戸惑っています。笑

連休いいお天気でありますように。。我が家は普段通りです。

ニリンソウ  
No title

まだ出たばかりのようですね。
こんな時が一番いい、我が里山は終わりました。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
どうやって求めればいいのだろうかと思ってましたが…
文字式でうまく求まるのですねぇ☆
わたしゃ...具体的な数で推量しましたぁ ^^; Orz~
B,B',Cともに9の倍数から,S(2)={99}を使った漸化式のようにして出せるのかなぁなんてことも考えましたが...わたしの力ではそれ以上及ばず…^^;;...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらも水芭蕉が咲いていますか? これから咲きますか?
機会があれば、アップしてください。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
水芭蕉の白も素敵だと思います。
花の文化園で見たものですが、尾瀬で見たいです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ちょっと見頃を過ぎていたと思います。
これだけが見られる状態で咲いていました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、こんな問題は具体的な数値で試してみるのがいいですね。
様子が分かってから、一般的に計算すれば求められます。
繰り上がりや繰り下がりがあるので一般化は出来ない気がします。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
きれいです♪こんな綺麗な水芭蕉が見れるのですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
水芭蕉の花はあまり見る機会がありませんが、好きな花の1つです。
緑の中の白が鮮やかです。