[答1093] 漸化式で表された数列
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[答1093] 漸化式で表された数列
a1=19 ,an+an+1=n2 (n=1,2,3,……) で表される数列{an}について、a1479=?
[解答1]
an+an+1=n2 において、
n=2,4,……,1478 を代入して加えると、
a2+a3+a4+a5+……+a1478+a1479=22+42+……+14782 、
n=1,3,……,1477 を代入して加えると、
a1+a2+a3+a4+……+a1477+a1478=12+32+……+14772 、
(k+1)2-k2=2k+1=k+(k+1) に注意して 辺々減じれば、
a1479-a1=1+2+3+4+……+1477+1478 、
a1479-19=1478・1479/2=1092981 、a1479=1092981+19=1093000 です。
[解答2]
an+1-n2/2=n2/2-an=(n-1)2/2+n-1/2-an 、
an+1-n2/2-(n-1)/2=(n-1)2/2+n/2-an 、
an+1-n2/2-(n-1)/2=-{an-(n-1)2/2-n/2} 、
数列{an-(n-1)2/2-n/2}は 公比 -1 の等比数列になり、
an-(n-1)2/2-n/2=(a1-1/2)(-1)n-1 、
an=(n-1)2/2+n/2-(19-1/2)(-1)n={n2-n+1-37(-1)n}/2 です。
a1479=(14792-1479+1+37)/2=1093000 です。
[解答3]
隣り合う三角数の和は平方数です。つまり、(n-1)n/2+n(n+1)/2=n2 です。
an+an+1=n2 からこの式を辺々引けば、
an-(n-1)n/2+an+1-n(n+1)/2=0 、an+1-n(n+1)/2=-an+(n-1)n/2 、
(-1)n+1{an+1-n(n+1)/2}=(-1)n{an-(n-1)n/2} 、
よって、(-1)n{an-(n-1)n/2} は定数になり、(-1)1{a1-(1-1)・1/2}=-19 に等しいです。
(-1)n{an-(n-1)n/2}=-19 、an-(n-1)n/2=-(-1)n19 、
an=(n-1)n/2-(-1)n19 になります。
a1479=(1479-1)・1479/2+19=1093000 です。
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