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[答1093] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1093] 漸化式で表された数列


 a1=19 ,an+an+1=n2 (n=1,2,3,……) で表される数列{an}について、a1479=?


[解答1]

 an+an+1=n2 において、

 n=2,4,……,1478 を代入して加えると、

 a2+a3+a4+a5+……+a1478+a1479=22+42+……+14782

 n=1,3,……,1477 を代入して加えると、

 a1+a2+a3+a4+……+a1477+a1478=12+32+……+14772

 (k+1)2-k2=2k+1=k+(k+1) に注意して 辺々減じれば、

 a1479-a1=1+2+3+4+……+1477+1478 、

 a1479-19=1478・1479/2=1092981 、a1479=1092981+19=1093000 です。


[解答2]

 an+1-n2/2=n2/2-an=(n-1)2/2+n-1/2-an

 an+1-n2/2-(n-1)/2=(n-1)2/2+n/2-an

 an+1-n2/2-(n-1)/2=-{an-(n-1)2/2-n/2} 、

 数列{an-(n-1)2/2-n/2}は 公比 -1 の等比数列になり、

 an-(n-1)2/2-n/2=(a1-1/2)(-1)n-1

 an=(n-1)2/2+n/2-(19-1/2)(-1)n={n2-n+1-37(-1)n}/2 です。

 a1479=(14792-1479+1+37)/2=1093000 です。


[解答3]

 隣り合う三角数の和は平方数です。つまり、(n-1)n/2+n(n+1)/2=n2 です。

 an+an+1=n2 からこの式を辺々引けば、

 an-(n-1)n/2+an+1-n(n+1)/2=0 、an+1-n(n+1)/2=-an+(n-1)n/2 、

 (-1)n+1{an+1-n(n+1)/2}=(-1)n{an-(n-1)n/2} 、

 よって、(-1)n{an-(n-1)n/2} は定数になり、(-1)1{a1-(1-1)・1/2}=-19 に等しいです。

 (-1)n{an-(n-1)n/2}=-19 、an-(n-1)n/2=-(-1)n19 、

 an=(n-1)n/2-(-1)n19 になります。

 a1479=(1479-1)・1479/2+19=1093000 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
No title

わぁ~花びらの色が濃くて……かわいい!

ニリンソウ  
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クリンソウはこの色が良く見かけます(我が家も)
初夏の高原で群生してると素敵です。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

おはようございます。
水辺のクリンソウ、きれいですね。
もう咲いていますか?
今月の末頃出合えるかな~
好きなお花なので開花が楽しみです。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
いずれもなるほどで...一般項まで求まるんですねぇ☆
わたしは…
安易に...a(n+2)-a(n)=2n+1から…求めちゃいましたけど…^^;…
いろんなアプローチがあるものです♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
色がクッキリしていて綺麗でした。
花の付き方も面白いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
高原のクリンソウは見たことがないのですが、
同じ花でも周りの景色で雰囲気が違いますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらでも今月末に咲くのですね。
近頃、北海道の方が暑い日もあるので、すぐかも知れません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
奇数・偶数に場合分けすると楽に求められる問題ですので、
貴殿のように解くのが楽ですね。
私はあえて一般項を求めました。

樹☆  
No title

う~~ん、仏塔の先にたつ「九輪」に見立てた?
こんな可愛い花が?

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
逆に言えば、仏塔がこんな可愛い花の下にあるから、
安らぐのかも知れませんね。