[答1093] 漸化式で表された数列

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[答1093] 漸化式で表された数列


　a₁＝19 ，a_n＋a_n+1＝n² (n＝1，2，3，……) で表される数列｛a_n｝について、a₁₄₇₉＝？


[解答1]

　a_n＋a_n+1＝n² において、

　n＝2，4，……，1478 を代入して加えると、

　a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋……＋a₁₄₇₈＋a₁₄₇₉＝2²＋4²＋……＋1478² 、

　n＝1，3，……，1477 を代入して加えると、

　a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋……＋a₁₄₇₇＋a₁₄₇₈＝1²＋3²＋……＋1477² 、

　(k＋1)²－k²＝2k＋1＝k＋(k＋1) に注意して 辺々減じれば、

　a₁₄₇₉－a₁＝1＋2＋3＋4＋……＋1477＋1478 、

　a₁₄₇₉－19＝1478･1479/2＝1092981 、a₁₄₇₉＝1092981＋19＝1093000 です。


[解答2]

　a_n+1－n²/2＝n²/2－a_n＝(n－1)²/2＋n－1/2－a_n 、

　a_n+1－n²/2－(n－1)/2＝(n－1)²/2＋n/2－a_n 、

　a_n+1－n²/2－(n－1)/2＝－｛a_n－(n－1)²/2－n/2｝ 、

　数列｛a_n－(n－1)²/2－n/2｝は 公比 －1 の等比数列になり、

　a_n－(n－1)²/2－n/2＝(a₁－1/2)(－1)^n-1 、

　a_n＝(n－1)²/2＋n/2－(19－1/2)(－1)ⁿ＝｛n²－n＋1－37(－1)ⁿ｝/2 です。

　a₁₄₇₉＝(1479²－1479＋1＋37)/2＝1093000 です。


[解答3]

　隣り合う三角数の和は平方数です。つまり、(n－1)n/2＋n(n＋1)/2＝n² です。

　a_n＋a_n+1＝n² からこの式を辺々引けば、

　a_n－(n－1)n/2＋a_n+1－n(n＋1)/2＝0 、a_n+1－n(n＋1)/2＝－a_n＋(n－1)n/2 、

　(－1)ⁿ⁺¹｛a_n+1－n(n＋1)/2｝＝(－1)ⁿ｛a_n－(n－1)n/2｝ 、

　よって、(－1)ⁿ｛a_n－(n－1)n/2｝ は定数になり、(－1)¹｛a₁－(1－1)･1/2｝＝－19 に等しいです。

　(－1)ⁿ｛a_n－(n－1)n/2｝＝－19 、a_n－(n－1)n/2＝－(－1)ⁿ19 、

　a_n＝(n－1)n/2－(－1)ⁿ19 になります。

　a₁₄₇₉＝(1479－1)･1479/2＋19＝1093000 です。

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