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[答1094] 重心の軌跡

ヤドカリ

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[答1094] 重心の軌跡


 座標平面上に A(3,6) と 円C:(x-9)2+(y+6)2=162 があります。

 PQ=12√2 を満たして P,Q が円C上を動くとき、△APQの 重心Gの軌跡は?


[解答1]

 円Cの中心を B とすれば B(9,-6) 、P(p,r),Q(q,s),G(x,y) とします。

 Gが△APQの重心だから、x=(3+p+q)/3 ,y=(6+r+s)/3 、p+q=3x-3 ,r+s=3y-6 です。

 Pが円C上にあるから (p-9)2+(r+6)2=162 、p2+r2-18p+12r=45 ……(1)

 Qが円C上にあるから (q-9)2+(s+6)2=162 、q2+s2-18q+12s=45 ……(2)

 PQ2=288 より (p-q)2+(r-s)2=288 、p2+q2+r2+s2-2pq-2rs=288 ……(3)

 (1)×2+(2)×2-(3) を計算して、p2+q2+r2+s2+2pq+2rs-36p-36q+24r+24s=-108 、

 (p+q)2+(r+s)2-36(p+q)+24(r+s)=-108 、(p+q-18)2+(r+s+12)2=360 、

 p+q=3x-3 ,r+s=3y-6 を代入して、(3x-3-18)2+(3y-6+12)2=360 、

 (3x-21)2+(3y+6)2=360 、(x-7)2+(y+2)2=40 です。

 展開すると、x2+y2-14x+4y+13=0 ……(4) です。

 ただし、A,P,Qが同一直線上にあるとき、△APQができませんので、この場合を除きます。

 A,P,Q が一直線上にあるとき、方べきの定理より、

 AP・AQ=(AB+9√2)(AB-9√2)=AB2-162=62+122-162=18 、

 (AP+AQ)2=(AP-AQ)2+4・AP・AQ=(12√2)2+4・18=360 、

 AP+AQ=6√10 、AG=(AP+AQ)/3=2√10 、AG2=40 、(x-3)2+(y-6)2=40 、

 展開すると、x2+y2-6x-12y+5=0 ……(5) です。

 (4)-(5) を計算して、-8x+16y+8=0 、x=2y+1 ……(6) です。

 (6)を(4) に代入して、(2y+1)2+y2-14(2y+1)+4y+13=0 、5y2-20y=0 、y=0,4 、

 (6)より、(x,y)=(1,0),(9,4) です。

 求める軌跡は「 (x-7)2+(y+2)2=40 ただし 2点(1,0),(9,4) を除く 」です。


[解答2]

 円Cの中心を B とすれば B(9,-6) 、PQの中点を M(m,n) ,G(x,y) とします。

 BM2=BP2-(PQ/2)2=162-(6√2)2=90 だから、(m-9)2+(n+6)2=90 、

 Mは AGを 3:1 に外分するので、m=(3x-3)/2 ,n=(3y-6)/2 、

 (2m-18)2+(2n+12)2=360 に代入して、(3x-3-18)2+(3y-6+12)2=360 、

 (3x-21)2+(3y+6)2=360 、(x-7)2+(y+2)2=40 です。

 ただし、A,P,Qが同一直線上にあるとき、△APQができませんので、この場合を除きます。

 A,P,Q が一直線上にあるとき、Mもこの直線上にあり、Mの軌跡も円だから、

 Mは Aから円に接線を引いたときの接点で、

 AG=(2/3)AM だから、Gの軌跡は Mの軌跡を Aを中心に 2/3 倍に縮小したものですので、

 除く点も (x-7)2+(y+2)2=40 に A(3,6)から接線を引いたときの接点です。

 極線は (3-7)(x-7)+(6+2)(y+2)=40 、x=2y+1 、(x-7)2+(y+2)2=40 に代入し、

 (2y+1-7)2+(y+2)2=40 、5y2-20y=0 、y=0,4 、点 (1,0),(9,4) が除く点です。

 従って、求める軌跡は「 (x-7)2+(y+2)2=40 ただし 2点(1,0),(9,4) を除く 」です。

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Comments 7

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アキチャン  
No title

おはようございます。
雨に濡れて、新葉が一段と綺麗ですね(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

エゴノキの白い花大好きです!
去年庭で花が咲き、エゴノキだったと知って大興奮(笑)
25日撮った花の写真あるのですが、今年はまだ葉のみ

今朝霧雨で気温12℃と寒いです。

ひとりしずか  
No title

今確認したところ数本の枝に蕾が下がっていました(^.^)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
題意はわかったものの…
軌跡の円との距離がその半径になる直線で考えればいいのかと思うもわからず…^^;...
熟読玩味ぃ☆

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
新緑の中の白い花が多くなりました。
雨に濡れた花や葉は一段と生き生きとして見えます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この樹は 白雲木(ハクウンボク)です。
エゴノキ科エゴノキ属ですので、エゴノキとよく酷似していますが、
花はほんの少し大きいようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
△APQができない場合だけ除くのですが、
これが一直線上にある場合を求めるのは全半より難しいですね。