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[答1095] 二等辺三角形の等辺

ヤドカリ

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[答1095] 二等辺三角形の等辺


 AC=BC の二等辺三角形ABCがあって、BCの中点を M とします。

 △ABCの面積が 2850 で、∠BAM=45゚ であるとき、AC=?


[解答1]

 AB=x ,AM=y ,BM=z とすれば、cosB=(x/2)/(2z)=x/(4z) です。

 余弦定理より、y2=x2+z2-2xz・cosB=x2/2+z2

 余弦定理より、z2=x2+y2-2xy・cos45゚=x2+y2-(√2)xy 、

 よって、y2=x2/2+z2=x2/2+x2+y2-(√2)xy 、

 (√2)xy=3x2/2 、y=3x/(2√2) 、

 △ABM=(1/2)xy・sin45゚=2850/2 だから、xy=2850√2 、3x2/(2√2)=2850√2 、x2=3800 、

 y2=9x2/8=4275 、

 y2=x2/2+z2 より、4275=3800/2+z2 、z2=2375 、

 4z2=9500 、AC=2z=10√95 です。


[解答2]

 ABの中点をN,NBの中点をH とすれば、AC=BC より CN⊥AB 、

 △ABCで中点連結定理より CN//MH ,MH=CN/2 だから MH⊥AB 、

 △AHM は HA=HM の直角二等辺三角形になります。

 AC2=AN2+CN2=(2HA/3)2+(2HM)2=(4/9)・2△AHM+4・2△AHM

  =(80/9)△AHM=(80/9)(3/4)△ABM=(80/9)(3/4)(1/2)△ABC=(10/3)△ABC=(10/3)・2850=9500 、

 AC=10√95 です。


[解答3]

 AMを 2:1 に内分する点をGとすれば、Gは△ABCの重心で GA=GB 、

 △GABは直角二等辺三角形で、△GAB=△ABC/3=2850/3=950 、GA=GB=10√19 、GM=5√19 です。

 BM=√(GB2+GM2)=√{(10√19)2+(5√19)2}=(5√19)√(22+12)=5√95 、

 AC=BC=2BM=2・5√95=10√95 です。

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Comments 11

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ひとりしずか  
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わぁ~かわいらしい、
色のグラデーションがやさしい感じ

アキチャン  
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おはようございます。
かわいい色ですね(o^-^o)

ゆうこ つれづれ日記  
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ピンクのお花は藤の花ですか?

きれいなお花が色々あっていいですね~~
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

豆科は解るけど藤? ニワフジ?
華やかですね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
[解答2]は気づけましたが…[解答3]はなるほどでした☆
なお…
>BM=√(GA^2+GB^2)
は…BM=√(GB^2+GM^2) ですね ^^

幾何はいろんな性質を駆使する面白さがありますね♪

ヤドカリ  
No title


写真の花は雲南萩(ウンナンハギ)で、
マメ科ハナハギ属の落葉低木です。
原産地は中国の南西部、雲南省・チベット自治区・四川省・貴州省などに分布し、
山の斜面などに生えるそうです。
開花時期は3~5月です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
華やいだ色の花だと思います。
しかも、色合いが優しい感じですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
可愛い優しい色ですね。
ピンクの花が密集しているとあでやかです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
綺麗な花をみると気持ちが安らぎます。
いろんな種類の花が咲く季節はいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
上に記しましたように、ウンナンハギです。
ハギといえば秋を連想しますが、仰る通り藤のようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タイプミスのご指摘も有難うございます。
仰る通り、幾何はいろんな性質を駆使します。