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[答107] 円に内接する六角形の対角線

ヤドカリ

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[答107] 円に内接する六角形の対角線


 図のように、AB=BC=CD=10, DE=EF=FA=20 の六角形ABCDEF が円に内接しています。

 この六角形の対角線 CE, AD の長さは?


[解答] CEの長さ

 弧AB,BC,CDの中心角をα, 弧DE,EF,FAの中心角をβとすると、3α+3β=360゚ より、α+β=120゚、

 弧CEの中心角が120゚だから、円周角は60゚、∠CDE=120゚ になります。

 余弦定理より、CE2=102+202-2・10・20cos120゚=700、

 CE=10√7 となります。


[解答] ADの長さ

[解答1] CE=BF=10√7 を使って、

 辺BC,EF,対角線BE,CFで正三角形が2個できて、BE=CF=30、

 トレミーの定理より、BF・AC=BA・CF+BC・AF、(10√7)・AC=300+200=500、AC=50/√7、

 トレミーの定理より、BC・AD+AB・CD=AC・BD、10AD+100=2500/7、AD=180/7 となります。

☆ トレミーの定理より、CE・BF+BC・EF=BE・CF、CE2+200=900 からも CE を求められます。

[解答2] CE=10√7 を使って、

 ∠DCE=θとすると、∠DCA=3θ、外接円の直径は、CE/sin120゚=20/sinθ=AD/sin3θ、

 (10√7)sinθ=10√3、sinθ=√3/√7、

 ADsinθ=20sin3θ=20sinθ(3-4sin2θ)、

 AD=20(3-4sin2θ)=20(3-4・3/7)=180/7 となります。

[解答3] CE=10√7 を使って、

 この円の半径rは、r=CE/√3=10√(7/3)、r2=700/3、

 余弦定理より、cosα=(r2+r2-102)/2・r・r=11/14、

 3倍角の公式より、cos3α=4cos3α-3cosα=-143/343、

 余弦定理より、AD2=r2+r2-2・r・rcos3α=32400/49、

 AD=180/7 となります。

☆ 倍角の公式より、cos2α=2cos2α-1=23/98、

 余弦定理より、AC2=BD2=r2+r2-2・r・rcos2α=2500/7、

 よって、AC・BD=2500/7、以下、[解答1]と同じです。

☆ 同じことですが、cosβ=1/7 より、cos2β=-47/49、cos3β=-143/343 からも求められます。

[解答4] CE=10√7,∠CAE=60゚ を使って、

 トレミーの定理より、AC・BD=BC・AD+AB・CD、AC2=10AD+100、

 トレミーの定理より、AE・DF=FE・AD+AF・DE、AE2=20AD+400、

 余弦定理より、CE2=AC2+AE2-2AC・AEcos60゚、

 あまり気の効いた解法ではありませんので、以下、省略します。

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Comments 3

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uch*n*an  
No title

三角関数やトレミーの定理を知らない場合,三平方の定理だけの次のような解法もあります。
まず,CEの長さの[解答]のようにして,∠CDE = ∠BAF = 120°で,∠CBE = ∠BEF = 60°。
これと,図の対称性から,BE と CF の交点を G とすると,△GBC,△GEF は正三角形。
そこで,C から EF に垂線を下ろしその足を H とすると,CH = (10 + 20) * √3/2 = 15√3。
また,図の対称性から,EH = (20 - 10)/2 = 5 なので,CE = √((15√3)^2 + 5^2) = 10√7。

uch*n*an  
No title

次に,CH と AD の交点を I,E から AD に下ろした垂線の足を J とし,
AD = x,CI = y,EJ = z とすると,図の対称性や三平方の定理から,
((x - 10)/2)^2 + y^2 = 10^2, ((x - 20)/2)^2 + z^2 = 20^2, y + z = CH = 15√3 = 45/√3
最初の二つの式から x^2 を消して,
(y - z)(y + z) = - 5x - 15 * 15
y - z = (- x/3 - 15)/√3
y = (- x/3 + 30)/√3 * 1/2
そこで,最初の式の y を消して,
7x^2 - 180x = 0
そこで,AD = x = 180/7。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しいコメントを有難う御座います。
三平方だけで計算しようとすると、式はすぐに立つのですが、
その後の計算に工夫が必要ですね。
私はそれが億劫でそこまでは考えませんでした。