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[答1096] 5次式の個数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1096] 5次式の個数


 (1) 係数がすべて 0 または 1 で、x+1 で割り切れるxの5次式の個数は?

 (2) 係数がすべて 0,1,2 のいずれかで、x+1 で割り切れるxの5次式の個数は?

 (3) 係数がすべて 0,1,2,3 のいずれかで、x+1 で割り切れるxの5次式の個数は?


[解答]

 5次式 ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f が x+1 で割り切れるとき、

 x=-1 を代入すると 0 になるので、-a+b-c+d-e+f=0 、b+d+f=a+c+e です。

 一般化して、a,b,c,d,e,f がすべて 0,1,2,……,n のいずれかで、

 b+d+f=a+c+e ,a≠0 である場合の数を求めます。

 一般に、非負整数Nに対して x+y+z=N の非負整数解の個数は N+12=(N+1)(N+2)/2 です。

 以下、k は n 以下の自然数とします。

 b+d+f=k を満たす(b,d,f)の個数は (k+1)(k+2)/2=(k2+3k+2)/2 、

 a+c+e=k を満たす(a,c,e)の個数は a=0 の場合 k+1 を減じて (k2+k)/2 、

 b+d+f=a+c+e=k を満たす(a,b,c,d,e,f)の個数は、

 (k2+3k+2)(k2+k)/4=(k4+4k3+5k2+2k)/4 です。

 b+d+f=n+k を満たす(b,d,f)の個数は、

  b>n の場合は (b-n-1)+d+f=k-1 なので k(k+1)/2 、d>n,f>n の場合も同数ですので、

  (n+k+1)(n+k+2)/2-3k(k+1)/2={-2k2+2nk+(n+1)(n+2)}/2 、

 a+c+e=n+k を満たす(a,c,e)の個数は a=0 の場合 n-k+1 を減じて、

  {-2k2+2(n+1)k+n(n+1)}/2 、

 b+d+f=a+c+e=n+k を満たす(a,b,c,d,e,f)の個数は、

 {-2k2+2nk+(n+1)(n+2)}{-2k2+2(n+1)k+n(n+1)}/4

  ={4k4-(8n+4)k3-(4n+4)k2-(4n3+18n2+26n+12)k+n(n+1)2(n+2)}/4 です。

 b+d+f=2n+k を満たす(b,d,f)の個数は、(n-b)+(n-d)+(n-f)=n-k より

  (n-k+1)(n-k+2)/2={k2-(2n+3)k+(n+1)(n+2)}/2 、

 a+c+e=2n+k を満たす(a,c,e)の個数は a=0 の場合がなく同数、

 b+d+f=a+c+e=2n+k を満たす(a,b,c,d,e,f)の個数は、

 {k2-(2n+3)k+(n+1)(n+2)}2/4

  ={k4-(4n+6)k3+(6n2+18n+13)k2+(4n3+10n2+10n+4)k+(n+1)2(n+2)2}/4 です。

 b+d+f=a+c+e=k,n+k,2n+k を満たす(a,b,c,d,e,f)の個数は、

 {6k4-6(2n+1)k3+2(3n2+7n+7)k2-2(2n+1)(2n+3)k+2(n+1)3(n+2)}/4 です。

 求める個数は、k=1,2,……,n として加えて、

 {6n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30-6(2n+1)n2(n+1)2/4+2(3n2+7n+7)n(n+1)(2n+1)/6
  -2(2n+1)(2n+3)n(n+1)/2+2(n+1)3(n+2)n}/4

 =n(n+1)(2n+1){6(3n2+3n-1)-45n(n+1)+10(3n2+7n+7)-30(2n+3)}/120+(n+1)3(n+2)n/2

 =n(n+1)(2n+1)(3n2-17n-26)/120+60(n+1)3(n+2)n/120

 =n(n+1){(2n+1)(3n2-17n-26)+60(n+1)2(n+2)}/120

 =n(n+1)(66n3+209n2+231n+94)/120 です。

 (1) 1・(1+1)(66・13+209・12+231・1+94)/120=2・600/120=10

 (2) 2・(2+1)(66・23+209・22+231・2+94)/120=6・1920/120=96

 (3) 3・(3+1)(66・33+209・32+231・3+94)/120=12・4450/120=445


[参考]

 (1)は具体的には、x5+1 ,x5+x2 ,x5+x2+x+1 ,x5+x3+x2+1 ,x5+x4 ,x5+x4+x+1 ,

 x5+x4+x3+1 ,x5+x4+x2+x ,x5+x4+x3+x2 ,x5+x4+x3+x2+x+1 です。


[考察] たけちゃんさんのコメントより

 (1) (x+1)3=x3+3x2+3x+1 の xk の係数が,kに対する(b,d,f)の個数を与え,

    (x+1)2=x2+2x+1 の x の係数が,k=3-ℓ に対する(a,c,e)の個数を与える.

    {(x+1)3}{(x+1)2}=(x+1)5 の x3 の係数が求めるものであり,10.

 (2) (x2+x+1)3 の xk の係数が,kに対する(b,d,f)の個数.

    (x+1)(x2+x+1)2 の x の係数が,k=6-ℓ に対する(a,c,e)の個数.

    (x+1)(x2+x+1)5 の x6 の係数が求めるものであり,96.

 (3) (x2+x+1)(x3+x2+x+1)5 の x9 の係数が求めるものであり,445.


 係数として0,1,2,…,n が可能である場合,

 {(xn-1)/(x-1)}{(xn+1-1)/(x-1)}5 の x3n の係数が求めるものとなる.

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Comments 10

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ひとりしずか  
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桐の花!
実物何年もみてないです~
実家に桐の木で作った臼がありました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでは桐の花は時々見られます。
紫色の花が青空の中に咲いている姿が素敵です。

ニリンソウ  
No title

桐が咲いてきましたね~
山の麓で見かけます、そのうちポトポト花が落ちます。
初夏通り越して夏の暑さですね。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

桐の花ですか~~
薄紫色は品がいいですね。
この木であの素晴らしい箪笥を作るのかしら・・・
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは地道に何度も間違えながら数え上げましたが…^^;
たけちゃん様の解法に魅かれます…☆
but...その心が掴めない…^^;;…熟読玩味ぃ~Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
こちらでは、少し花が落ちています。
暑さに慣れない今の暑さは堪えますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私も紫の花は品がいいと思います。
昔は女の子が生まれたら、箪笥を作るために桐を植えたそうです。
軽くて湿気をとるので、桐はいい木材ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
3までの数字を使うと大変ですね。
解くのにご苦労されたことと思います。

アキチャン  
No title

おはようございます。
薄暗い感が余計にお品よく写っていますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
桐の花を夕方に撮りました。
高い所の花は逆光になりやすく、撮りにくいです。