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[答1098] ガウス記号の計算

ヤドカリ

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[答1098] ガウス記号の計算


 1・[35/1]+2・[35/2]+3・[35/3]+4・[35/4]+……+34・[35/34]+35・[35/35]=1007 になります。

 では、1・[36/1]+2・[36/2]+3・[36/3]+4・[36/4]+……+34・[36/34]+35・[36/35]+36・[36/36]=?


[解答1]

 10・[36/10]=10・(36/10-6/10)=36-6 のように、k・[36/k]=36-(36÷kの余り) になります。

 k=1,2,3,4,……,36 において、36÷kの余りは、

 0,0,0,0,1,0,1,4,0,6,3,0,10,8,6,4,2,0,

 17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 ですので、

 その和は、1+1+4+6+3+10+8+6+4+2+17・18/2=45+153=198 、

 求める値は、36・36-198=1098 です。


[解答2]

 k=1,2,3,……,36 とします。

 36/k-35/k=1/k≦1 ですので、[36/k]-[35/k]=0 または [36/k]-[35/k]=1 です。

 [36/k]-[35/k]=1 になるのは、35/k<n≦36/k を満たす自然数nが存在するときで、 

 35<nk≦36 だから、k が 36 の約数のときです。

 よって、

 k が 36 の約数のとき k[36/k]-k[35/k]=k ,k が 36 の約数でないとき k[36/k]-k[35/k]=0 になり、

 1・[36/1]+2・[36/2]+3・[36/3]+4・[36/4]+……+34・[36/34]+35・[36/35]+36・[36/36]=S とすれば、

 1・[35/1]+2・[35/2]+3・[35/3]+4・[35/4]+……+34・[35/34]+35・[35/35]+36・[35/36]=1007 だから、

 S-1007 は 36 の約数の総和であり、36=22・32 と素因数分解されるので、

 S-1007=(1+2+22)(1+3+32)=91 、S=1098 です。

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Comments 9

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ひとりしずか  
No title

ホタルブクロ、緑の葉に白がいっそう引き立って……

庭のホタルブクロ蕾が大きくなってきました(^^♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]に気づけましたぁ ^^
初見の問題でしたわ☆
考えたこともなかったですが、ガウス記号って面白いですね☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
写真に収めたことがあったかしら?と調べましたが、出てきません。
なぜだか、新鮮な気持ちになってます。きれいですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

早いですね~もうホタルですね。
今年はいつ頃見れるかな、白がいいですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
そちらでもホタルブクロはもうすぐなんですね。
袋のような面白い形の花ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
其方はどの花も開花が早いので、もう見ておられると思っていました。
それとも、あまりお出かけの機会がなかったのでしょうか。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ガウス記号を使えばいろいろ問題は作れそうです。
ただ、複雑なだけも問題は作っても仕方ないので、工夫も必要です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は、好きな花のひとつなので、毎年撮っていると思います。
季節の花は、どれも新鮮に感じますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
此方では自生しているのは白が普通です。
この頃、紫色もよく植えられています。