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[答1101] 2つの接点の中点の軌跡

ヤドカリ

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[答1101] 2つの接点の中点の軌跡


 円 (x-4)2+(y-6)2=60 に円外の点Pから2本の接線引くとき、

 その接点を結ぶ線分の中点をMとします。

 点Pが 円 (x+7/2)2+(y-16)2=25/4 上を動くとき、点Mの軌跡は?


[解答1]

 P(p,q),M(x,y)とします。

 接点を結ぶ直線は (p-4)(x-4)+(q-6)(y-6)=60 と表され、

 P(p,q)と中心(4,6)を通る直線は p(y-6)-q(x-4)=-6x+4y と表されますので、

 M(x,y)はこの連立方程式の解(x,y)になります。

 また、(p+7/2)2+(q-16)2=25/4 が成り立ち、

 この3つの式から p,q を消去し、x,y の式を求めることになります。

 (p-4)(x-4)+(q-6)(y-6)=60 について、

 (p-4+15/2)(x-4)+(q-6-10)(y-6)=60+15(x-4)/2-10(y-6) 、

 (p+7/2)(x-4)+(q-16)(y-6)=15x/2-10y+90 ……(1) 、

 p(y-6)-q(x-4)=-6x+4y について、

 (p+7/2)(y-6)-(q-16)(x-4)=-6x+4y+7(y-6)/2+16(x-4) 、

 (p+7/2)(y-6)-(q-16)(x-4)=10x+15y/2-85 ……(2) 、

 (1)2+(2)2 を計算して、

 {(p+7/2)2+(q-16)2}{(x-4)2+(y-6)2}=(15x/2-10y+90)2+(10x+15y/2-85)2

 (p+7/2)2+(q-16)2=25/4 だから、

 (25/4){(x-4)2+(y-6)2}=(15x/2-10y+90)2+(10x+15y/2-85)2

 (x-4)2+(y-6)2=(3x-4y+36)2+(4x+3y-34)2

 x2+y2-8x-12y+52=9x2+16y2+1296-24xy+216x-288y+16x2+9y2+1156+24xy-272x-204y 、

 -24x2-24y2+48x+480y-2400=0 、x2+y2-2x-20y+100=0 、(x-1)2+(y-10)2=1 です。


[解答2]

 (x-4)2+(y-6)2=60 の中心を A ,半径を R 、

 (x+7/2)2+(y-16)2=25/4 の中心を B ,半径を r とします。

 A,M,P は一直線上にあり、接点の1つを T とすれば、△AMT∽△ATP だから、

 AM:AT=AT:AP 、AP・AM=AT2=R2 になります。

 次に、直線APと円Bの交点を P,Q (直線APが円Bが接するときは P,Qが一致)とすれば、

 方べきの定理により、AP・AQ=(AB+r)(AB-r)=AB2-r2 だから、

 AM/AQ=(AP・AM)/(AP・AQ)=R2/(AB2-r2) 、Qの軌跡も円Bだから、

 Mの軌跡は 円Bを Aを中心に R2/(AB2-r2) に縮小したものになります。

 A(4,6),B(-7/2,16),R2=60,r2=25/4 なので、

 AB2=625/4 ,R2/(AB2-r2)=60/(625/4-25/4)=2/5 、

 Mの軌跡は、中心が ABを 2:3 に内分する点で(1,10),半径は 2r/5=1 の円です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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シベのかたまりが幼げで……

アキチャン  
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おはようございます。
清楚できれい♪夏つばき?でしょうか(o^-^o)

ニリンソウ  
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おはようございます!
気持ちいい朝です、タイサンボクの花が咲きましたか?
丁度目線で咲いてくれたら嬉しいですね。
良く撮れました。 ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
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昨日はザーザー雨の一日でしたが
今日はお日さまが出て気持ちがいいです。
太陽さんって本当にありがたいですね。
使途くて高貴な感じのお花はなにかな~~

ナイス☆

樹☆  
No title

こんばんは
タイサンボク大好きです。
娘の幼稚園のお庭には大きなこの樹がありました。
園長は当時80歳を超えた方でしたが
昨年、108歳で亡くなりました。
このお花を見ると、この樹の下で子どもたちを
見守ってくださってたことを思い出します。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
円になりそうと悩んでましたが…アウト…^^;;
方ベキの定理を使うことに気づけたとしても…
上のような式変形までに思い足れなかったと思います…^^;☆
奇麗な問題ですね♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
大きい花なので、しべもよく見えます。
花弁の色がすぐ褪せるので、タイミングが重要です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントをありがとうございます。
この花はタイサンボクの花です。
いい香りが漂います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
タイサンボクは大きい白い花で、目立ちますね。
撮りやすい所に咲いてくれていて助かりました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
其方は気温が低いからそう思えるのでしょう。
こちらは日陰でないと暑くて消耗します。
ところで、写真の白い大きなはなはタイサンボクです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タイサンボクにそのような思い出があるのですね。
思い出として残してくれた故人に合掌。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
問題に美しさを感じて頂ければ本望です。
美しい内容の問題を作るのはなかなか難しいですが、頑張ります。