[答10] 回転体の体積

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[答10] 回転体の体積


上の図は、縦横1cmの方眼紙に青い三角形を描いたものです。

この三角形を赤い縦線の周りに回転してできる回転体の体積は？



[解法1] 円錐台の体積の公式

円錐の体積は、半径をｒ,高さをｈとすれば、(π/3)r²h ですが、

円錐台の体積は、半径をａ,ｂ,高さをｈとすれば、(π/3)(a²＋ab＋b²)h です。

(π/3)(2²＋2・3＋3²)・3＋(π/3)(3²＋3・1＋1²)・1－(π/3)(2²＋2・1＋1²)・4

＝(π/3)(57＋13－28)＝14πcm³


[解法2] パップス・ギュルダンの定理

回転体の体積は、回転させる面の面積×重心の移動距離　で求められる

というのが、パップス・ギュルダンの定理です。

この場合、三角形の面積が 7/2 で、

重心は(中線上にあって)回転軸から 2 離れているから、

(7/2)×(2π・2)＝14πcm³

☆ テストの解答で使っていいのかどうか知りませんが便利な定理です。

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