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[答1102] 正方形以外の面積

ヤドカリ

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[答1102] 正方形以外の面積


 図のように、6個の正方形が頂点を共有して六角形ができています。

 外側の黄色の正方形3つの面積がそれぞれ 370,400,442 であるとき、

 六角形の中で正方形以外(水色の部分)の面積は?


[解答]

 中図のように、正方形の1辺の長さを a,b,c,d,e,f ,面積を A,B,C,D,E,F とします。

 また、白の正方形で囲まれた中央の三角形の面積を S とします。

 右上図のように、3辺が a,b,f の三角形を 90゚ 回転すれば、この三角形の面積も S で、

 パップスの中線定理により、

 f2+c2=2(a2+b2) になり、

 f2=2a2+2b2-c2 、F=2A+2B-C です。

 同様に、他の三角形の面積も S で、D=2B+2C-A ,E=2C+2A-B です。

 次に、面積Aの三角形の下の四角形をKLMNとすれば、△KLN=S ,△KMN=S ですので、

 KNを底辺とするときの高さも等しく、その高さを h とします。

 当然、四角形KLMNは KN//LM である台形になります。

 また、LN2=2A+2E-C=2A+2(2C+2A-B)-C=6A-2B+3C 、

 KM2=2A+2F-B=2A+2(2A+2B-C)-B=6A+3B-2C です。

 台形KLMNにおいて、K,N からの垂線で LMを区切り、その長さを x,a,y とすれば、

 x2+h2=KL2=E=2C+2A-B ,y2+h2=MN2=F=2A+2B-C 、

 よって、x2-y2=3C-3B 、(x+y)(x-y)=3C-3B になり、

 (x+a)2+h2=LN2=6A-2B+3C ,(y+a)2+h2=KM2=6A+3B-2C ,

 よって、(x+a)2-(y+a)2=5C-5B 、(x+y+2a)(x-y)=5C-5B です。

 従って、5(x+y)(x-y)=3(x+y+2a)(x-y) 、

 x≠y のとき、5(x+y)=3(x+y+2a) 、2(x+y)=6a 、x+y=3a であり、

 x=y のとき B=C で、(x+a)2+h2=6A+B ,x2+h2=2A+B だから、

 (x+a)2-x2=4A 、2ax+a2=4a2 、2x=3a となって、

 いずれの場合も x+y=3a 、x+a+y=4a 、LM=4KN 、△LMN=4△KLN=4S 、台形PQRS=5S です。

 他の台形についても同様で、面積は 5S です。

 水色の部分の面積は、4S+3・5S=19S です。

 本問では、D=2B+2C-A=370 ,E=2C+2A-B=400 ,F=2A+2B-C=442 として、

 D+E+F=3A+3B+3C=1212 、2A+2B+2C=808 、3A=438 ,3B=408 ,3C=366 、

 A=146 ,B=136 ,C=122 、a=√146 ,b=√136 ,c=√122 、

 正方形以外の面積は 方眼の図のように、19S=19(11・11-6・10/2-1・11/2-11・5/2)=1102 です。

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Comments 7

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ひとりしずか  
No title

もしかしてササユリ?
初々しく感じました

ニリンソウ  
No title

ササユリ? 開き方が
姫小百合かな~~~(蕊が赤いので)
新潟も上越地区に行かないとササユリは見れません。
予報は曇りだったので角田山へ岩百合見に行こうと
予定でしたが出る直前に土砂降りです。

ひとりしずか  
No title

ヒメサユリかなぁ~

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
外側の正方形を縮めたら...真ん中に3S,外側に3*3S
移動した部分は平行四辺形で…3*(2S)
so…
青=(4+3*3+3*2)*S=19S
Sはヘロンで求めましたが、さすがにPCで…^^;
解答のようなフォルムには気づけず…^^;;
面白い問題を思いつかれますね☆
これを何重にも拡大していっても求められそうですね♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
最初のコメントのように、ササユリです。
スッキリとした色と姿が綺麗ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
このササユリは花の文化園で撮ったものですが、
自生のササユリのある場所に花の文化園ができたそうです。
ニリンソウさんのヒメサユリを再度見せて頂きましたが、
ヒメサユリの蕊の色はもっと黄色ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
こんな問題を思いつくこともなかなかないのですが、
形がスッキリしていて、思わぬ収穫でした。