[答1102] 正方形以外の面積
[答1102] 正方形以外の面積
図のように、6個の正方形が頂点を共有して六角形ができています。
外側の黄色の正方形3つの面積がそれぞれ 370,400,442 であるとき、
六角形の中で正方形以外(水色の部分)の面積は?
[解答]
中図のように、正方形の1辺の長さを a,b,c,d,e,f ,面積を A,B,C,D,E,F とします。
また、白の正方形で囲まれた中央の三角形の面積を S とします。
右上図のように、3辺が a,b,f の三角形を 90゚ 回転すれば、この三角形の面積も S で、
パップスの中線定理により、
f2+c2=2(a2+b2) になり、
f2=2a2+2b2-c2 、F=2A+2B-C です。
同様に、他の三角形の面積も S で、D=2B+2C-A ,E=2C+2A-B です。
次に、面積Aの三角形の下の四角形をKLMNとすれば、△KLN=S ,△KMN=S ですので、
KNを底辺とするときの高さも等しく、その高さを h とします。
当然、四角形KLMNは KN//LM である台形になります。
また、LN2=2A+2E-C=2A+2(2C+2A-B)-C=6A-2B+3C 、
KM2=2A+2F-B=2A+2(2A+2B-C)-B=6A+3B-2C です。
台形KLMNにおいて、K,N からの垂線で LMを区切り、その長さを x,a,y とすれば、
x2+h2=KL2=E=2C+2A-B ,y2+h2=MN2=F=2A+2B-C 、
よって、x2-y2=3C-3B 、(x+y)(x-y)=3C-3B になり、
(x+a)2+h2=LN2=6A-2B+3C ,(y+a)2+h2=KM2=6A+3B-2C ,
よって、(x+a)2-(y+a)2=5C-5B 、(x+y+2a)(x-y)=5C-5B です。
従って、5(x+y)(x-y)=3(x+y+2a)(x-y) 、
x≠y のとき、5(x+y)=3(x+y+2a) 、2(x+y)=6a 、x+y=3a であり、
x=y のとき B=C で、(x+a)2+h2=6A+B ,x2+h2=2A+B だから、
(x+a)2-x2=4A 、2ax+a2=4a2 、2x=3a となって、
いずれの場合も x+y=3a 、x+a+y=4a 、LM=4KN 、△LMN=4△KLN=4S 、台形PQRS=5S です。
他の台形についても同様で、面積は 5S です。
水色の部分の面積は、4S+3・5S=19S です。
本問では、D=2B+2C-A=370 ,E=2C+2A-B=400 ,F=2A+2B-C=442 として、
D+E+F=3A+3B+3C=1212 、2A+2B+2C=808 、3A=438 ,3B=408 ,3C=366 、
A=146 ,B=136 ,C=122 、a=√146 ,b=√136 ,c=√122 、
正方形以外の面積は 方眼の図のように、19S=19(11・11-6・10/2-1・11/2-11・5/2)=1102 です。
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