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[答1103] 十六面体の体積

ヤドカリ

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[答1103] 十六面体の体積


 図のような展開図の、2種類の等脚台形を面としてもつ十六面体があります。

 8個の等脚台形は 平行な辺が 4,6 で 等辺が √3 であり、

 他の8個の等脚台形は 平行な辺が 1,4 であるとき、この十六面体の体積 V は?


[解答1]

 この十六面体は、図のように正四角錐台の穴ののあいた正四角錐台2個分です。

 真上から見れば、中心が一致する正方形で、上半分高さは √{(√3)2-(√2)2}=1 です。

 底面積が S,S' ,高さが h である 角錐台の体積は、{S+√(SS')+S'}h/3 ですので、

 V/2=(62+6・4+42)・1/3-(42+4・1+12)・1/3=55/3 、

 V=110/3 です。


[解答2]

 この十六面体は、図のように正四角錐台の穴ののあいた正四角錐台2個分です。

 真上から見れば、中心が一致する正方形で、上半分高さは √{(√3)2-(√2)2}=1 です。

 赤の点線の所で切断すれば、切断面はその下の図のようになり、

 四角形の頂点は 対称軸から 1/2,2,3 の距離にあり、

 その面積は (3-1/2)・2/2=5/2 、重心は (1/2+2+3)/3=11/6 の距離にあります。

 対称軸の周りに回転すれば、

 この立体は、図のように正四角錐台2つ分の穴ののあいた正四角柱です。

 底辺が 10 で、高さが 1/2 の三角形の面積は 5/2 で、

 この底辺から 2 離れた直線の周りに回転させると、パップス・ギュルダンの定理より

 回転体の体積は (5/2)・2π(11/6)=55π/6 、

 十六面体と回転体を並べ、回転軸に垂直な平面で切断すれば、

 正方形とその内接円で、面積比は 4:π だから、カヴァリエリの原理より、

 V:55π/6=4:π 、V=110/3 です。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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ベロニカ(ルリトラノオ)かなぁ~
瑠璃色の花穂が咲き上って……どれくらいの高さになるのでしょう~

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちわ~
園芸種のお花なんですか?
北海道の野の花、大好きなエゾクガイソウに似ていますね。

今日も暑いですか?
お体に気を付けてくださいね。
ナイス☆

樹☆  
No title

こんにちは
今日も真夏日でした。あじさいも雨を恋しがってる
ようです。
青い色は図形と同じですね。

ニリンソウ  
No title

園芸種の花は難しいです。
真っ青ですね、他の花との組み合わせでさらに
美しく見えるでしょうネ。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
フォルムは、このような額縁型と想像できたのですのに…
四角錐からなかの四角錐を引いて2倍で計算したのに…
異なる値になってしまったのはなぜか熟読玩味ぃ~^^;v Orz~

ヤドカリ  
No title


写真の花はベロニカ スピカータで、
品種名はロイヤルキャンドルです。
花の文化園で見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ベロニカの一種ですが、背丈は低いものでした。
手入れしないと年月を経ると高くなるようです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ベロニカの一種ですが、背丈は低いものでした。
手入れしないと年月を経ると高くなるようです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
意図したわけではありませんが、図と似た色になりました。
此方も梅雨らしくない天気で、紫陽花にとっては気の毒です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
少なくとも2通り以上で計算すると間違いは防げます。
もちろん、数値計算は正確さが必要です。

アキチャン  
No title

おはようございます。
そびえた感じが元気をもらえます(o^-^o)いい色ですね♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ロイヤルキャンドルの名の通り、そびえたっています。
色も鮮やかでした。