FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1104] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1104] 漸化式で表された数列


 a1=0 ,a2=2 ,a3=4 ,an+3=an+2+an+1-an+2 で表される数列{ an }について、

 第47項 a47=? また、一般項 an=?


[解答1]

 Σは k=1,2,……,n-1 を表すものとします。

 後で使いますが、Σ(-1)k=-{1-(-1)n-1}/(1+1)=-1/2-(-1)n/2 です。

 an+3-2an+2+an+1=-an+2+2an+1-an+2 、

 an+3-2an+2+an+1-1=-(an+2-2an+1+an-1) より、

 数列{ an+2-2an+1+an-1 }は 公比 -1 の等比数列になり、

 an+2-2an+1+an-1=(a3-2a2+a1-1)(-1)n-1=(-1)n

 (an+2-an+1)-(an+1-an)=1+(-1)n

 数列{ an+1-an }の 階差数列が{ 1+(-1)n }になり、

 n≧2 のとき、

 an+1-an=a2-a1+Σ{ 1+(-1)k }=2+(n-1)-1/2-(-1)n/2=n+1/2-(-1)n/2 、

 この式は n=1 のときも成り立ち、

 更に、数列{ an }の 階差数列が{ n+1/2-(-1)n/2 }になり、

 n≧2 のとき、

 an=a1+Σ{ k+1/2-(-1)k/2 }=0+(n-1)n/2+(n-1)/2+1/4+(-1)n/4=n2/2-1/4+(-1)n/4 、

 この式は n=1 のときも成り立ち、

 an=[n2/2] とまとめられます。

 a47=[472/2]=[2209/2]=1104 です。


[解答2]

 Σは k=1,2,……,n-1 を表すものとします。

 an+3-an+1=an+2-an+2 より、数列{ an+2-an }は 公差 2 の等差数列になり、

 an+2-an=a3-a1+2(n-1)=4+2(n-1)=2n+2 です。

 an+2-an=2n+2 において、n を 2n-1 に書きかえれば、

 a2n+1-a2n-1=2(2n-1)+2=4n 、

 数列{ a2n-1 }の 階差数列が{ 4n }になり、

 n≧2 のとき、

 a2n-1=a1+Σ4k=0+4・(n-1)n/2=2(n-1)n={(2n-1)2-1}/2 、

 この式は n=1 のときも成り立ちます。

 an+2-an=2n+2 において、n を 2n に書きかえれば、

 a2n+2-a2n=2・2n+2=4n+2 、

 数列{ a2n }の 階差数列が{ 4n+2 }になり、

 n≧2 のとき、

 a2n=a2+Σ(4k+2)=2+4・(n-1)n/2+2(n-1)=2n2=(2n)2/2 、

 この式は n=1 のときも成り立ちます。

 a2n-1={(2n-1)2-1}/2=[(2n-1)2/2] ,a2n=(2n)2/2 のいずれも成り立ち、

 an=[n2/2] とまとめられます。

 a47=[472/2]=[2209/2]=1104 です。

.

スポンサーサイト



Comments 7

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

清楚ですね~

ニリンソウ  
No title

ヤマユリ、テッポウ百合ではないようです。
カサブランカかな?
百合の季節が来たのですね~

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント^^
地道に式を並べて、足すと求められましたが…^^
たしかに…[解答2]…等差数列ですわね☆
and...
>{(2n-1)2-1}/2=[(2n-1)2/2]
なる表現は考えたこともなかったです…♪ Orz~

ヤドカリ  
No title


写真の花はマドンナリリーです。
聖母マリアの象徴とされる花です。
ヨーロッパ原産ですが、
19世紀に日本から伝わった鉄砲ユリが広がり、
マドンナリリーは少なくなり、
世界的に希少価値が高いユリです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に書きましたように、マドンナリリーです。
キリスト教では、純潔の象徴とされる花のようです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
上に書きましたようにマドンナリリーと呼ばれる百合です。
ユリの季節、特に白百合は清々しいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
漸化式は、式変形をしてどんな意味をもつかを考えて、
意味が分かれば面白いと思います。