FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1105] 円周上の格子点

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1105] 円周上の格子点


 座標平面上の円 x2+y2=n に格子点が 32個あるような最小の自然数nは?

 また、2番目に小さい自然数nは?


[解答]

 文字はすべて整数,n は自然数とします。

 (x,y)=(a,b) が x2+y2=n を満たすとき、

 (x,y)=(±a,±b),(±b,±a) (複号任意) も x2+y2=n を満たすので、

 |a|≠|b| かつ ab≠0 であれば、8個の格子点があります。

 |a|=|b| または ab=0 であれば、y=±x または 座標軸上に 4個の格子点があります。

 よって、n=2k2 または n=k2 と表されるとき、

 格子点の個数は (8の倍数)+4 になり、32個にはなりません。

 次に、a2+b2=n ,c=a+b ,d=a-b とすれば、

 c2+d2=(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=2n になり、

 逆に、c2+d2=2n とすれば、c,d は両方偶数か両方奇数ですので、

 a=(c+d)/2 ,b=(c-d)/2 とおけば、

 a2+b2=(c+d)2/4+(c-d)2/4=(c2+d2)/2=n になります。

 よって、x2+y2=n 上の格子点(a,b) と x2+y2=2n 上の格子点(a+b,a-b) が

 1対1に対応することになり、x2+y2=n ,x2+y2=2n 上の格子点は同数です。

 従って、nが奇数のときの x2+y2=n の格子点の個数を求めれば、

 nが偶数のときの x2+y2=n の格子点の個数も分かります。

 以下、nが奇数の場合について検証します。

 nが奇数のときは、x,y の一方が偶数で他方は奇数です。

 nが x2+y2 (xは正の偶数,yは正の奇数) の形で2種類で表されるとき、

 改めて、n=a2+b2=c2+d2 (n,a,c は偶数、b,d は奇数、a>c>0、d>b>0) とすれば、

 a2-c2=d2-b2 、(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b) なので、

 GCD(a+c,d+b)=2g ,GCD(a-c,d-b)=2h とすれば、

 a+c=2eg,d+b=2fg ,a-c=2fh,d-b=2eh と表すことができ、

 a=eg+fh ,b=fg-eh ,c=eg-fh ,d=fg+eh になり、

 b=fg-eh>0 ,c=eg-fh>0 になるように e,f,g,h をとることになりますが、

 e/f,f/e,g/h,h/g のうち、g/h が最大にすればよいことになります。

 n=a2+b2=(eg+fh)2+(fg-eh)2=e2g2+f2h2+f2g2+e2h2=(e2+f2)(g2+h2) または

 n=c2+d2=(eg-fh)2+(fg+eh)2=e2g2+f2h2+f2g2+e2h2=(e2+f2)(g2+h2) で、

 (e2+f2)(g2+h2)=(eg+fh)2+(fg-eh)2=(eg-fh)2+(fg+eh)2 です。

 また、厳密にはガウス整数環の素因数分解の一意性によりますが、

 e2+f2 ,g2+h2 の両方が素数であれば、この2通りの表し方しかありません。

 よって、nが x2+y2 (xは正の偶数,yは正の奇数) の形で3種類以上に表されれば、

 x2+y2 (xは正の偶数,yは正の奇数) の形の3個以上の積である必要があります。

 x2+y2 (xは正の偶数,yは正の奇数) の形で2通りに表される最小の自然数は、

 (32+22)(22+12)=(3・2+2・1)2+(2・2-3・1)2=(3・2-2・1)2+(2・2+3・1)2 より、

 65=82+12=42+72 で、実際に 65 はこの形でしか表されません。

 x2+y2 (xは正の偶数,yは正の奇数) の形で3種類以上に表される最小の自然数は、

 (42+12)(82+12)=(4・8+1・1)2+(1・8-4・1)2=(4・8-1・1)2+(1・8+4・1)2

 (42+72)(42+12)=(4・4+7・1)2+(7・4-4・1)2=(4・4-7・1)2+(7・4+4・1)2

 1105=332+42=312+122=232+242=92+322 で、実際にこの形でしか表されません。

 2番目に小さい自然数は、

 (42+32)(82+12)=(4・8+3・1)2+(3・8-4・1)2=(4・8-3・1)2+(3・8+4・1)2

 (42+32)(72+42)=(4・7+3・4)2+(3・7-4・4)2=(4・7-3・4)2+(3・7+4・4)2

 1625=352+202=292+282=402+52=162+372 で、実際にこの形でしか表されません。

 従って、x2+y2=n に格子点が 32個あるような最小の自然数nは 1105、

 2番目に小さい自然数nは 1625 です。


[参考]

 ヤコビの二平方定理という自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理があり、

 自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、

 4・{(4を法にして1と合同になるNの約数の個数)-(4を法にして3と合同になるNの約数の個数)}

 で与えられます。

 p,q,r を 4で割ると1余る素数(5,13,17,……)として、pqr ,p3・q ,p7 で表される数と、

 その 2の累乗倍,4で割ると3余る素数(3,7,11,……)の偶数乗倍が 該当します。

 プログラムで 5000以下のnを求めれば、以下のようになります。

 1105=5・13・17,1625=53・13,1885=5・13・29,2125=53・17,2210=2・5・13・17,

 2405=5・13・37,2465=5・17・29,2665=5・13・41,3145=5・17・37,3250=2・53・13,

 3445=5・13・53,3485=5・17・41,3625=53・29,3770=2・5・13・29,3965=5・13・61,

 4250=2・53・17,4420=22・5・13・17,4505=5・17・53,4625=53・37,

 4745=5・13・73,4810=2・5・13・37,4930=2・5・17・29 です。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
つま先立ちして踊っているようですね♪かわいいです(o^-^o)

ひとりしずか  
No title

これだけ咲いていると群舞といった感……
庭のユキノシタも数本、今年はたくさんの花を付け元気に咲いています(^^♪

樹☆  
No title

おはようございます。
わぁ~これだけのお花・・ほんとに雪のようです。♪
かわいいですね。

ニリンソウ  
No title

雪の下とはよく言ったものです。
チラチラ夏の雪のようですね。 葉に目がいきませんでしたが
肉厚でしたよね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
地道に1^2+1^2=2から実験的に調べてみましたが…
a=bのときは、第一象限にそれを中心に3個ずつあれば…
4*7+4=32となりそうも…(√2*a^2,0) と格子点になれないので無理と判断…so…第一象限に8個
x^2+y^2=n が 4種類あれば可能(8*4=32)
1^2+1^2=2
1^2+2^2=5
1^2+3^2=10
2^2+3^2=13
1^2+4^2=17
2^2+4^2=20
3^2+4^2=25
1^2+5^2=26
2^2+5^2=29
...
などで…PCで解の個数を調べてみたら...偶数でない右辺の積だけの方が効率よく個数が増えて行くことがわかりました…
で、右辺の因子が3個あれば2^3=8になれることにあとで気づきました ^^;v…調べて…ヤコビの二平方定理に至りましたが...貴殿のようには繙けませんでした…^^;;…わけはわかりませんでしたのですが面白かったです Orz~☆

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
多くの踊り子さんに見えましたか。
2枚だけ花弁が大きいのが目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ユキノシタは子供の頃から馴染みのある花です。
花は小さいですが、沢山咲くと目を惹きます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
たくさん咲くと雪のように見えますね。
鴨足草(ゆきのした)は夏の季語だそうです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
雪の下の名前は雪の下でも緑の葉があるからだそうです。
葉は少し肉厚で、裏が緑のものと赤みがかかったものがありますが、
赤い方が顕微鏡での細胞観察には向くそうです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
2つの平方の和での表し方が何種類かあれば問題作成に使えます。
1105番はこれを使わない手はないでしょう。