FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1106] 八進法と九進法

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1106] 八進法と九進法


 7以下のいくつかの数字が並んでいます。

 これを八進法として扱った数と九進法として扱った数の比が 97:136 であるとき、

 この数の並びは?

 例えば、123 なら、123(8):123(9)=83:102 です。


[解答]

 まず、並んでいる数字の個数を求めます。

 (n+1)個の数の並びを a0a1a2……an-1an (a0>0) とし、

 (八進法として扱った数)/(九進法として扱った数) を R とします。

 また、Σを k=0,1,2,……,n-1,n の和とすれば、

 R=(Σak・8n-k)/(Σak・9n-k) になります。

 9n(Σak・8n-k)-8n(Σak・9n-k)=Σak(9n・8n-k-8n・9n-k)=Σak・72n-k(9k-8k)≧0 、

 ここで、等号は a1=a2=……=an-1=an=0 のとき成立します。

 9n(Σak・9n-k) で割って、R-8n/9n≧0 です。

 9n-1(Σak・8n-k)-8n-1(Σak・9n-k)=Σak(9n-1・8n-k-8n-1・9n-k)=Σak・72n-k(9k-1-8k-1) 、

 9k-1-8k-1 は k=0 のとき 負 ,k=1 のとき 0 ,k>1 のとき 正 なので、

 a0=1 ,a2=……=an-1=an=7 のとき最小になり、このとき、

 9n-1(Σak・8n-k)-8n-1(Σak・9n-k)=9n-1{8n+7・(8n-1)/7}-8n-1{9n+7・(9n-1)/8}

  =9n-1(2・8n-1)-8n-2(15・9n-7)=2・9n-1・8n-9n-1-15・8n-2・9n+7・8n-2

  =-7・(9n-1-1)・8n-2-9n-1<0 なので、、

 9n-1(Σak・9n-k) で割って、R-8n-1/9n-1<0 です。

 よって、8n/9n≦R<8n-1/9n-1 です。

 八進法として扱った数と九進法として扱った数の比が 97:136 であり、

 83/93≦97/136<82/92 ですので、 n=3 で、数字の並びは4個です。

 八進法として扱った数を 97k ,九進法として扱った数を 136k とすれば、

 1000(8)≦97k≦7777(8) ,1000(9)≦136k≦7777(9) だから、

 512≦97k≦4095 ,729≦136k≦5740 、6≦k≦42 になります。

 また、数字の並びの右端(1の位)は 97k÷8 の余り かつ 136k÷9 の余りですので、

 この余りが等しくなり、97k≡k (mod 8) ,136k≡k (mod 9) より、

 k÷8 ,k÷9 の余りが等しくなり、 k÷72 の余りが 7以下、k=6,7 です。

 97・6=582=1106(8) ,136・6=816=1106(9) ,97・7=679=1247(8) ,136・7=952=1267(9) ですので、

 この数字の並びは 1106 です。

.

スポンサーサイト



Comments 8

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます。
アサザですね~朝のうちに撮りましたか!
自生の花はなかなか見れなくなりましたね。

ナイス

ひとりしずか  
No title

アサザブログの記事で見るのですが~
花びらの形態が変わっているような……

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
怪しいかもですが…?...わたしは以下のように絞り込みました ^^
3桁の場合
9^2/8^2=81/64<136/97
9^3/8^3>136/97>(9^3+9^2+9+1)/(8^3+8^2+8+1)
so…4桁の中にある...
あとは、下一桁は同じなので、その差が136-97=39 の倍数になるものを探しました ^^…Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
アサザは以前は近くの公園でも見たのですが、今は見かけません。
写真のアサザは長居植物園で見たものですが、
多分、池に自生しているものだと思います。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
アサザの実物はなかなか見られないのでしょうか。
確かに、花弁の形は変わっていますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
うまく絞り込めば、そう難しくないと思います。
答は分かりますが、それ以外にないことを確認する方が難しいですね。

樹☆  
No title

こんばんは
アサザ可愛いお花ですね。
今年は蓮の花見にいけなかったし、花菖蒲を見に行ったら
終わってました。
ぼやきのわたしです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
蓮の花はこれから、その気になれば見られると思います。
アサザも睡蓮もそうですが、水の上に咲く花は涼しげです。