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[答1107] 漸化式で表される数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1107] 漸化式で表される数列


 6a1=5a2 ,(11n+1)an=10nan+1+(n+1)an-1 で表される数列{ an }について、

 lim an = 10/9 のとき、第3項 a3=?
 n→∞


[解答]

 6a1=5a2 より、a1=5a ,a2=6a とします。

 10nan+(n+1)an=10nan+1+(n+1)an-1 になりますので、

 10n(an+1-an)=(n+1)(an-an-1) 、(an+1-an)/(n+1)=(1/10)(an-an-1)/n になり、

 数列{ (an+1-an)/(n+1) }は公比 1/10 の等比数列、

 (an+1-an)/(n+1)=(a2-a1)/(2・10n-1)=5a/10n 、an+1-an=5a(n+1)/10n

 10nan+1=10nan+5a(n+1) 、

 10nan+1+5a(n+1)/9+50a/81=10nan+5a(n+1)+5a(n+1)/9+50a/81=10{10n-1an+5an/9+50a/81} 、

 数列{10n-1an+5an/9+50a/81}は公比が10の等比数列になり、 、

 10n-1an+5an/9+50a/81=(100a1+5a/9+50a/81)・10n-1=(500a/81)・10n-1

 an+5an/(9・10n-1)+50a/(81・10n-1)=500a/81 、

 an=500a/81-5an/(9・10n-1)-50a/(81・10n-1)=(5a/81)(10n+1-9n-10)/10n-1 です。

 N → ∞ とすれば、an → 500a/81=10/9 より 5a/81=1/90 、

 an=(10n+1-9n-10)/(9・10n) になり、

 a3=(103+1-9・3-10)/(9・10n)=9963/9000=1.107 です。


[参考]

 an=(10n+1-9n-10)/(9・10n) より a0=0 とすれば、

 an-an-1=(10n+1-9n-10)/(9・10n)-(10n-9n-1)/(9・10n-1)

  =(10n+1-9n-10)/(9・10n)-(10n+1-90n-10)/(9・10n)

  =81n/(9・10n)=9n/10n だから、an/9-an-1/9=n/10n になり、

 数列{an/9-an-1/9}は、

  0.1 ,0.02 ,0.003 ,0.0004 ,0.00005 ,0.000006 ,0.0000007 ,…… で、

 数列{an/9}は、

  0.1 ,0.12 ,0.123 ,0.1234 ,0.12345 ,0.123456 ,0.1234567 ,…… です。

 123・9=1107 を利用して本問を作りました。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

もう咲いているんですね!

アキチャン  
No title

おはようございます。
いつも言っていますが、この形状のお花は好きです(o^-^o)
ねむの木も少しずつ色が違ったのがありますね。

ニリンソウ  
No title

まだ見ていません!
ふわふわ~揺れる様子がいいですね。
大きな木の下は涼しいです。

ナイス

樹☆  
No title

おはよ0うございます
そうそう・・ニリンソウさんが仰るように
優しい感じがするからふわふわ感好きです。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

合歓の木のお花ですか?
花も色も優しげな感じでいいですね~~

ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
気づけませんでした…^^;
わたしには変形が難しかぁ…^^;;
チャンパーノウン定数(0.12345678910111213…)は無理数ということですが...ちょっとした違いで大違いなものなのね …Orz...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
はい、もう咲いていて、よく見かけます。
遠くからだとぼやけて見えるのが風情があります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この形状の花は、柔らかさを感じますね。
色はピンクですが、微妙に色合いが違いますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
其方ではまだなのですね。
私は、紫陽花と同様、梅雨の時期の花と認識しています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
優しい感じがするのは、細い花弁のふわっとした柔らかさからでしょう。
色が淡い色だからというのもあるのでしょう。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
形も色も柔らかな感じで、優しくも感じます。
この時期には見たい花のひとつです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
本問の数列の極限は有理数ですので、取り組み易いと思います。
チャンパーノウン定数(0.12345678910111213…)なんか、
難しいし、問題にしにくい数です。