FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1111] 数列とその和

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答1111] 数列とその和


 数列{ an }の 初項から第n項までの和 Sn について、

 12Sn=3(n+4)an-2n3-3n2+8n-48 (n=1,2,3,……) で表されるとき、

 a9=? また、a99=?


[解答]

 n=1 のとき、S1=a1 だから、12a1=15a1-45 、a1=15 です。

 Sn+1-Sn=an+1 なので、12Sn+1-12Sn=12an+1

 3(n+5)an+1-2(n+1)3-3(n+1)2+8(n+1)-48-{3(n+4)an-2n3-3n2+8n-48}=12an+1

 3(n+5)an+1-12an+1=3(n+4)an-2n3-3n2+8n-48+2(n+1)3+3(n+1)2-8(n+1)+48 、

 3(n+1)an+1=3(n+4)an+6n2+12n-3 、(n+1)an+1=(n+4)an+2n2+4n-1 、

 an+1/{(n+4)(n+3)(n+2)}=an/{(n+3)(n+2)(n+1)}+(2n2+4n-1)/{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)} 、

 (2n2+4n-1)/{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}=a/(n+4)+b/(n+3)+c/(n+2)+d/(n+1) とおけば、

 2n2+4n-1=a(n+3)(n+2)(n+1)+b(n+4)(n+2)(n+1)+c(n+4)(n+3)(n+1)+d(n+4)(n+3)(n+2) 、

 n=-4,-2,-3,-1 を代入して、15=-6a ,-1=-2c ,5=2b ,-3=6d 、

 a=-5/2 ,c=1/2 ,b=5/2 ,d=-1/2 となって、

 2n2+4n-1={a(n+2)+c(n+4)}(n+3)(n+1)+{b(n+1)+d(n+3)}(n+4)(n+2) 、

 2n2+4n-1=(-2n-3)(n+3)(n+1)+(2n+1)(n+4)(n+2) 、

 (2n2+4n-1)/{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}=-(2n+3)/{(n+4)(n+2)}+(2n+1)/{(n+3)(n+1)} 、

 an+1/{(n+4)(n+3)(n+2)}=an/{(n+3)(n+2)(n+1)}-(2n+3)/{(n+4)(n+2)}+(2n+1)/{(n+3)(n+1)} 、

 an+1/{(n+4)(n+3)(n+2)}+(2n+3)/{(n+4)(n+2)}=an/{(n+3)(n+2)(n+1)}+(2n+1)/{(n+3)(n+1)} 、

 よって、an/{(n+3)(n+2)(n+1)}+(2n+1)/{(n+3)(n+1)} は 一定値になり、

 a1/(4・3・2)+3/(4・2)=5/8+3/8=1 に等しくなります。

 an/{(n+3)(n+2)(n+1)}+(2n+1)/{(n+3)(n+1)}=1 、an+(2n+1)(n+2)=(n+3)(n+2)(n+1) 、

 an=(n+2){(n+3)(n+1)-(2n+1)}=(n+2)(n2+2n+2) です。

 an=(9+2)(92+2・9+2)=11・101=1111 、

 a99=(99+2)(992+2・99+2)=101・10001=1010101 です。

 なお、an={(n+1)+1}{(n+1)2+1}=(n+1)3+(n+1)2+(n+1)+1 と変形すれば、

 an は (n+1)進法で表された 1111(n+1) になることが分かります。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

ギボウシ、白い花びらまぶしく感じます!

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんばんわ~~
ヤドカリさん地方は相当暑いのでしょう。
最低気温も高いから大変だと思います。
お体に気を付けてこの夏を乗り越えてください。

白いギボウシに、ナイス☆

ニリンソウ  
No title

ギボウシもいろいろですね。
咲く時期もずれているし、葉だけでも楽しめる
夏らしい花だと思います。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
ギボウシ、艶やかで綺麗ですね~。
夏の花も色々と楽しめる様になってきましたね。
ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
難しぃ…^^;
but…その裏事情を知ったら...面白いっていうか素敵な問題が生まれたんですねぇ☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はあまりギボウシを撮らないのですが、
綺麗に咲いていたので、撮ってみました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
天候はちょっと不安定、熱帯夜は続いています。
ゆうこさんの所の冬の寒さも、こちらの暑さも堪えると思います。
お互い、健康第一ですね。お気遣い恐れ入ります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ギボウシは種類が多いのですが、
咲く時期が長く、名札がついていないことが多く、特集を組めません。
仰る通り、葉だけでも楽しめる植物ですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、夏の花が楽しめる時期になってきました。
ただ、出歩くのに体力を消耗してしまいます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
(n+1)進法で表された 1111 になるように漸化式をつくりました。
ネタがないとなかなか問題は作れません。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
きれいに撮れていますね!やっぱり白いのがいいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
あまり撮らないギボウシですが、綺麗に咲いていました。
被写体がいいと撮りやすいです。