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[答1112] 三角形と半円

ヤドカリ

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[答1112] 三角形と半円


 △ABC の 頂点A から 辺BC におろした垂線を AH とし、

 辺BCを直径とする半円と、AB,AC,AH との交点をそれぞれ P,Q,R とします。

 AP:PB=9:16 ,AQ:QC=19:9 のとき、AR:RH=?


[解答]

 一般化して AP:PB=a:b ,AQ:QC=c:d とし、AP=as,PB=bs,AQ=ct,QC=dt とします。

 また、BH=x,HC=y とします。

 AH,BQ,CPは垂心で交わりますので、チェバの定理により、

 (BH/HC)(CQ/QA)(AP/PB)=1 、(x/y)(d/c)(a/b)=1 、adx=bcy です。

 次に、方べきの定理により、AP・AB=AQ・AC=(AH-RH)(AH+RH) 、a(a+b)s2=c(c+d)t2=AH2-RH2 です。

 更に、三平方の定理により、

 BH2=AB2-AH2 、x2=(as+bs)2-AH2

 a2d2x2=a2d2(a+b)2s2-a2d2AH2=ad2(a+b)(AH2-RH2)-a2d2AH2=abd2AH2-ad2(a+b)RH2

 CH2=AC2-AH2 、y2=(ct+dt)2-AH2

 b2c2y2=b2c2(c+d)2t2-b2c2AH2=b2c(c+d)(AH2-RH2)-b2c2AH2=b2cdAH2-b2c(c+d)RH2

 adx=bcy より、a2d2x2=b2c2y2 、abd2AH2-ad2(a+b)RH2=b2cdAH2-b2c(c+d)RH2

 bd(ad-bc)AH2=(a2d2+abd2-b2c2-b2cd)RH2 、bd(ad-bc)AH2={(ad+bc)(ad-bc)+bd(ad-bc)}RH2

 ad≠bc のとき、bdAH2=(ad+bc+bd)RH2 、AH2:RH2=(ad+bc+bd):bd になります。

 本問の場合、a=9,b=16,c=19,d=9 として、

 AH2:RH2=(9・9+16・19+16・9):16・9=529:144 、AH:RH=23:12 、

 AR:RH=(23-12):12=11:12 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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セイヨウニンジンボクかな?
以前住んでいた家の近くで方向と花びらの色に惹かれました(^^♪

ニリンソウ  
No title

夏になると大きな木に咲く花が目立ちます。
植物園でよく見ますが今年はまだ撮ってない
セイヨウニンジンボク。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
算額のような問題でしたが…
相似と、方ベキと、トレミ-と、ピタゴラスと使いまくり...
なかなか大変な計算でPCにさせました ^^;
(AH-RH)(AH+RH)に気づきませんでした☆

次の問題も…苦戦中…^^;;

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰るように、セイヨウニンジンボクです。
花弁の色が奇麗で、花が咲くと目を惹きますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
私は、都市緑化センターでみます。
他の所では見たことがありません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントをありがとうございます。
一応、手計算でできるように作問しています。
(AH-RH)(AH+RH) は方べきの定理と共に使うことが多いです。

POPS  
No title

こんばんは。
セイヨウニンジンボク、綺麗に咲いてますね~。
自分もあまり見かけない植物ですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は写真を撮った所でしか見た記憶がありません。
咲いている期間もそう長くないので、慌ててアップしました。

アキチャン  
No title

セイヨウニンジンボク、というのですね。
初見かしら(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
確かにセイヨウニンジンボクはあまり見ませんね。