[答108] 凸四角形と二等辺三角形

[答108] 凸四角形と二等辺三角形


　∠BAD＝xﾟ(0＜x＜180), AB＝AD の凸四角形ABCDで、

　△ABC, △ACD, △BCD のいずれもが二等辺三角形になるとき、

　∠BCD が何通りあるかを　f(x) で表すことにします。

　例えば、∠BAD＝60ﾟ のとき、∠BCD＝60ﾟ, 150ﾟ が考えられるので、f(60)＝2 です。

　f(x) を最大にするｘの値と最小にするｘの値は？


[解答]

　f(108)＝4，f(120)＝1，0＜x≦90 のとき f(x)＝2，

　90＜x＜108，108＜x＜120，120＜x＜180 のとき f(x)＝3 となります。

　よって、f(x)を最大にするｘは x＝108, 最小にするｘは x＝120 となります。

☆ この問題では、正五角形・正六角形の内角の特殊性が際立ちます。

☆ A，B，D を与えられていて、考えられるCの位置の数をf(x)とすれば、f(108)＝5 です。


[解答の詳細]

　まず、CB＝CD の場合を考えます。

　(1) AB＝AD＝BC のとき、四角形ABCDは菱形になるので、∠BCD＝xﾟ。

　(2) AB＝AD＝AC のとき、

　 　Aを中心とするB,C,Dを通る円を考えると、xﾟ/2＋∠BCD＝180ﾟ より、∠BCD＝(180－x/2)ﾟ。

　(3) CB＝CD＝CA のとき、

　 　Cを中心とするD,A,Bを通る円を考えると、xﾟ＋∠BCD/2＝180ﾟ より、∠BCD＝(360－2x)ﾟ。

　 　この場合は、0＜x≦90 のときに凸四角形になりません。

　x＝120 のとき、x＝180－x/2＝360－2x となって、(1)(2)(3)は一致します。

　次に、CB≠CD の場合を考えます。

　(4) AB＝AD＝AC のとき、

　 　この場合は、もし BC＝BD であれば、△ABC≡△ABD となって、C,Dが一致してしまいます。

　 　よって、BC≠BD、同様に、DB≠DC、したがって、△BCDは不等辺三角形です。

　(5) AB＝AD≠AC のとき、

　 　BA＝BC, CA＝CD としても一般性を失いません。このとき、DC＝DB になりますので、

　 　図のように、∠BAD＝180ﾟ×(3/5)＝108ﾟ, ∠BCD＝180ﾟ×(2/5)＝72ﾟ。

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