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[答108] 凸四角形と二等辺三角形

ヤドカリ

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[答108] 凸四角形と二等辺三角形


 ∠BAD=x゚(0<x<180), AB=AD の凸四角形ABCDで、

 △ABC, △ACD, △BCD のいずれもが二等辺三角形になるとき、

 ∠BCD が何通りあるかを f(x) で表すことにします。

 例えば、∠BAD=60゚ のとき、∠BCD=60゚, 150゚ が考えられるので、f(60)=2 です。

 f(x) を最大にするxの値と最小にするxの値は?


[解答]

 f(108)=4,f(120)=1,0<x≦90 のとき f(x)=2,

 90<x<108,108<x<120,120<x<180 のとき f(x)=3 となります。

 よって、f(x)を最大にするxは x=108, 最小にするxは x=120 となります。

☆ この問題では、正五角形・正六角形の内角の特殊性が際立ちます。

☆ A,B,D を与えられていて、考えられるCの位置の数をf(x)とすれば、f(108)=5 です。


[解答の詳細]

 まず、CB=CD の場合を考えます。

 (1) AB=AD=BC のとき、四角形ABCDは菱形になるので、∠BCD=x゚。

 (2) AB=AD=AC のとき、

   Aを中心とするB,C,Dを通る円を考えると、x゚/2+∠BCD=180゚ より、∠BCD=(180-x/2)゚。

 (3) CB=CD=CA のとき、

   Cを中心とするD,A,Bを通る円を考えると、x゚+∠BCD/2=180゚ より、∠BCD=(360-2x)゚。

   この場合は、0<x≦90 のときに凸四角形になりません。

 x=120 のとき、x=180-x/2=360-2x となって、(1)(2)(3)は一致します。

 次に、CB≠CD の場合を考えます。

 (4) AB=AD=AC のとき、

   この場合は、もし BC=BD であれば、△ABC≡△ABD となって、C,Dが一致してしまいます。

   よって、BC≠BD、同様に、DB≠DC、したがって、△BCDは不等辺三角形です。

 (5) AB=AD≠AC のとき、

   BA=BC, CA=CD としても一般性を失いません。このとき、DC=DB になりますので、

   図のように、∠BAD=180゚×(3/5)=108゚, ∠BCD=180゚×(2/5)=72゚。

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Comments 6

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

>90<x<120,120<x<180 のとき f(x)=3 となります。
? x が 108 は除くのでは?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、御指摘を有難う御座います。早速、直しました。
コピーと削除をしているうちに飛んでしまったようです。

アキチャン  
No title

お花・・笑っているように見えます (o^-^o)
気持ちよさそうですネ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
> 笑っているように見えます (o^-^o)
ナルホド、そういう見方は出来ませんでした。
ホントに気持ちよさそうです。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
花カンザシですね。。花びらが開くころが一番可愛いと思います。
ほんと^^日を浴びて気持ちよさそうですね^^ポチ
これも緑化センターの花ですか?

ヤドカリ  
No title

いっちゃんへ^^
コメントとポチを有難う御座います。これも緑化センターの花です。