[答108] 凸四角形と二等辺三角形
[答108] 凸四角形と二等辺三角形
∠BAD=x゚(0<x<180), AB=AD の凸四角形ABCDで、
△ABC, △ACD, △BCD のいずれもが二等辺三角形になるとき、
∠BCD が何通りあるかを f(x) で表すことにします。
例えば、∠BAD=60゚ のとき、∠BCD=60゚, 150゚ が考えられるので、f(60)=2 です。
f(x) を最大にするxの値と最小にするxの値は?
[解答]
f(108)=4,f(120)=1,0<x≦90 のとき f(x)=2,
90<x<108,108<x<120,120<x<180 のとき f(x)=3 となります。
よって、f(x)を最大にするxは x=108, 最小にするxは x=120 となります。
☆ この問題では、正五角形・正六角形の内角の特殊性が際立ちます。
☆ A,B,D を与えられていて、考えられるCの位置の数をf(x)とすれば、f(108)=5 です。
[解答の詳細]
まず、CB=CD の場合を考えます。
(1) AB=AD=BC のとき、四角形ABCDは菱形になるので、∠BCD=x゚。
(2) AB=AD=AC のとき、
Aを中心とするB,C,Dを通る円を考えると、x゚/2+∠BCD=180゚ より、∠BCD=(180-x/2)゚。
(3) CB=CD=CA のとき、
Cを中心とするD,A,Bを通る円を考えると、x゚+∠BCD/2=180゚ より、∠BCD=(360-2x)゚。
この場合は、0<x≦90 のときに凸四角形になりません。
x=120 のとき、x=180-x/2=360-2x となって、(1)(2)(3)は一致します。
次に、CB≠CD の場合を考えます。
(4) AB=AD=AC のとき、
この場合は、もし BC=BD であれば、△ABC≡△ABD となって、C,Dが一致してしまいます。
よって、BC≠BD、同様に、DB≠DC、したがって、△BCDは不等辺三角形です。
(5) AB=AD≠AC のとき、
BA=BC, CA=CD としても一般性を失いません。このとき、DC=DB になりますので、
図のように、∠BAD=180゚×(3/5)=108゚, ∠BCD=180゚×(2/5)=72゚。
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