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[答1113] 三角形の周囲の長さ

ヤドカリ

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[答1113] 三角形の周囲の長さ


 図のように、面積が 9 で AB>AC である 鋭角三角形ABCがあって、

 ∠CAD=∠BAE=45゚ となるように、辺BC上に点D,Eをとります。

 BD:DC=17:13 ,BE:EC=25:17 となるとき、BC+CA+AB=?


[解答1]

 BD:DC=17:13 より、k を正の数として、

 座標平面上に B(-17k,0),D(0,0),C(13k,0) とおく。

 △ADCの外接円は、弧DCの中心角は 90゚ だから、中心が(13k/2,13k/2),半径が (13k/2)√2 、

 (x-13k/2)2+(y-13k/2)2=169k2/2 、

 x2+y2-13kx-13ky=0 ……(1) です。

 BE:EC=25:17 より、E(6k/7,0) 、

 △ABEの外接円は、中心が(-113k/14,125k/14),半径が (125k/14)√2 、

 (x+113k/14)2+(y-125k/14)2=15625k2/98 、

 x2+y2+(113/7)kx-(125/7)ky=102k2/7 ……(2) です。

 (2)-(1) より、(204k/7)kx-(34/7)ky=102k2/7 、y=6x-3k になり、

 (1)に代入して、x2+(6x-3k)2-13kx-13k(6x-3k)=0 、

 37x2-127kx+48k2=0 、(37x-16k)(x-3k)=0 、x=16k/37,3k ですが、

 y=6x-3k>0 として、x=3k,y=15k 、A(3k,15k) です。

 BC=30k だから、△ABC=30k・15k/2=225k2=9 になり、k=1/5 、

 A(3/5,3),B(-17/5,0),C(13/5,0) になり、

 BC=6,CA=√13,AB=5 、BC+CA+AB=11+√13 です。


[解答2]

 AからBCにおろした垂線をAHとし、△ACH≡△CLK,△ABH≡△BMN となるように、

 K,MをBCに関してAと反対側に、L,NをBCに上にとります。

 CD=CH+HD=CH+HL・AH/(AH+KL)=CH+(CL-CH)AH/(AH+HC)=CH+(AH-CH)AH/(AH+CH)

  ={CH(AH+CH)+(AH-CH)AH}/(AH+CH)=(AH2+CH2)/(AH+CH) だから、

 (AH2+CH2)/(AH+CH)=(13/30)BC 、

 13BC(AH+CH)=30(AH2+CH2) 、

 BE=BH-HE=BH-HN・AH/(AH+MN)=BH-(BH-BN)AH/(AH+BH)=BH-(BH-AH)AH/(AH+BH)

  ={BH(AH+BH)-(BH-AH)AH}/(AH+BH)=(AH2+BH2)/(AH+BH) だから、

 (AH2+BH2)/(AH+BH)=(25/42)BC 、

 25BC(AH+BH)=42(AH2+BH2) 、

 5・25BC(AH+BH)-7・13BC(AH+CH)=5・42(AH2+BH2)-7・30(AH2+CH2) 、

 BC(34AH+125BH-91CH)=210(BH+CH)(BH-CH) 、34AH+125BH-91CH=210(BH-CH) 、

 BH=(2AH+7CH)/5 になり、BC=BH+CH=(2AH+12CH)/5 だから、

 13BC(AH+CH)=30(AH2+CH2) に代入して、

 13(2AH+12CH)(AH+CH)/5=30(AH2+CH2) 、13(AH+6CH)(AH+CH)=75(AH2+CH2) 、

 62AH2-91AH・CH-3CH2=0 、(2AH-3CH)(31AH+CH)=0 、2AH=3CH 、

 CH=2k とすれば AH=3k 、BH=(2AH+7CH)/5=4k ,BC=BH+CH=6k です。

 △ABC=BC・AH/2=9k2=9 なので、k=1 、AH=3,BH=4,CH=2,BC=6 です。

 AB=5,AC=√13 なので、BC+CA+AB=11+√13 です。

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Comments 12

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アキチャン  
No title

おはようございます。
わぉ、神聖な場面です(笑) トンボ、見ていないので出かけないと(o^-^o)

ひとりしずか  
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シオカラトンボかなぁ~
トンボの海とおもうほど飛んでいるのを見たのは40年以上も前……

ゆうこ つれづれ日記  
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つなぎとんぼだ~~~

どこで産卵をするのかな・・・
なるべく遠くで産んでくれるといいけど・"(>0<)"・。
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

蓮池でトンボのカップル見つけたのですね。
夏だー蝉も泣きだしました。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは面白そうで解きたかったのですが…
D,Eから、AC,ABに垂線を引いた直角三角形の辺の和-DEってこと以外...
何にも閃かず…撃沈…^^;
解答読んでも難しいです ^^;; Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「神聖な場面です」ですか。
子供の頃はよく見かけましたが、今はめったに出会いません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
このトンボは雄と雌で色が違うので、
雄の方はシオカラトンボ、雌の方はムギワラトンボといいます。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
「つなぎとんぼ」という言葉を初めて見ました。
ここは蓮池で、魚もいませんので、産卵場所としてはいいかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
蓮池にトンボ、うまく出会えました。
外来生物が増える中、こんな光景は嬉しいものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
意外に難しい問題になってしまいました。
いろいろ考えていると、こんな問題もできます。

POPS  
No title

こんばんは。
トンボの交尾の模様は貴重ですね。
夏を感じますね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
偶然に出会ったものでした。
騒がしいセミより静かなトンボの方が落ち着きます。