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[答1116] 平行四辺形の個数

ヤドカリ

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[答1116] 平行四辺形の個数


 図のように、正三角形の辺の 16等分点を繋いで 小さな正三角形 162 個を作ります。

 この図に平行四辺形は何個? また、そのうち菱形は何個?


[解答]

 一般化して辺をn等分して 小さな正三角形 n2 個を作った図で考えます。

 右上がりの線分2本と 左上がりの線分2本でできる平行四辺形は、

 1段下に n+2 個の点をとり、その中から4個を選んで、

 左の2個から右上に,右の2個から左上に直線を描くと平行四辺形ができますので、n+24 個あります。

 横線を使う場合も同様で、

 3・n+24=3(n+2)(n+1)n(n-1)/4!=(n+2)(n+1)n(n-1)/8 個です。

 本問は n=16 の場合で、18・17・16・15/8=9180 個です。

 次に、菱形の個数を求めます。

 n+2 個の点に 1 ~ n+2 の番号をつけます。

 4個の点の番号を小さい方から a,b,c,d とすれば、b-a=d-c の場合が菱形です。

 このような a,b,c,d の選び方は、1 ~ n+2 から a,x,d (a<x<d) を選び、

 y=a+d-x として、x,y の小さい方を b,大きい方を c とすればよいので、

 x≠(a+d)/2 であればよいことになります。

 よって、1 ~ n+2 の番号から3個を選ぶ場合の数のうち、

 a,d が奇数どうし,偶数どうしの場合の数を減じることになります。

 nが偶数のとき、

 (n+23-2・n/2+12)/2={(n+2)(n+1)n/3!-2(n/2+1)(n/2)/2!}/2

  =(n+2)(n+1)n/12-(n+2)n/8=(n+2)n{2(n+1)-3}/24=(n+2)n(2n-1)/24 です。

 nが奇数のとき、

 (n+23(n+3)/22(n+1)/22)/2=〔(n+2)(n+1)n/3!-{(n+3)/2}{(n+1)/2}/2!-{(n+1)/2}{(n-1)/2}/2!〕/2

  =(n+2)(n+1)n/12-(n+3)(n+1)/16-(n+1)(n-1)/16

  =(n+1){4(n+2)n-3(n+3)-3(n-1)}/48=(n+1)(n-1)(2n+3)/24 です。

 ここで、(n+2)n(2n-1)=2n3+3n2-2n ,(n+1)(n-1)(2n+3)=2n3+3n2-2n-3 、

 よって、(n+1)(n-1)(2n+3)/24=(n+2)n(2n-1)/24-1/8 になります。

 横線を使う場合も含めて、3(n+2)n(2n-1)/24 または 3(n+2)n(2n-1)/24-3/8 個になり、

 いずれの場合も [(n+2)n(2n-1)/8] 個と表されます。

 本問は n=16 の場合で、18・16・31/8=1116 個です。

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Comments 10

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
コマクサは高山に登らないと見れません。
白は希少価値ありますね。

ナイス

ひとりしずか  
No title

コマクサ、白が輝いて見えます!

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは手も足もでずダルマさんでした ^^;
前半は何とかトレースできましたが…後半は難ぃ…^^;
さすが強者のみなさんね☆ Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
コマクサが綺麗に咲き、爽やかな雰囲気が暑さを和らげてくれそうです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
このコマクサは咲くやこの花館で見ました。
咲くやこの花館には寒冷地に咲く花の温室(冷室?)があり寒いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
真っ白な花は特に輝いて見えますね。
奇麗でしたょ。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、後半は難しいですね。
みなさん、よく解かれていると、私も思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
涼しい所で咲くことを知っていれば、余計に涼しさを感じますね。
写真で少しでも暑さが和らげばいいですね。

樹☆  
No title

おはようございます
山登りされたのかと思いました^^
コマクサというのですね。
ハートの形がダンスしてるようでかわいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コマクサのような花の咲く山に登りたいです。
将来の楽しみにしておきます。