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[答1117] 2つの円と共通外接線

ヤドカリ

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[答1117] 2つの円と共通外接線


 面積の和が 276πである大きさの異なる2つの円があって、

 その2つの円と共通外接線でできる水色の図形の周囲の長さが 37π,面積が 303πであるとき、

 2つの円の半径は?

 なお、図は不正確です。


[解答]

 円の半径を a,b (a<b),共通外接線の長さを L ,s+t=1 として、

 両方の円において、中心と接点を結ぶ2本の半径で s:t に分けるものとすれば、

 面積は πa2s+πb2t+2(a+b)L/2=303π だから、

 a2s+b2t+(a+b)L/π=303 ……(1) です。

 周囲の長さは 2πas+2πbt+2L=37π だから、as+bt+L/π=37/2 、

 (a+b)を乗じて、a(a+b)s+b(a+b)t+L(a+b)/π=37(a+b)/2 、

 a2s+ab(s+t)+b2t+(a+b)L/π=37(a+b)/2 、

 (1)を減じて、ab=37(a+b)/2-303 、2ab=37(a+b)-606 ……(2) です。

 ab=37(a+b)/2-303>0 より、a+b>606/37=16+14/37 であることに注意して、

 2つの円の面積の和は a2π+b2π=276π より a2+b2=276 、

 (2)を加えて、(a+b)2=276+37(a+b)-606 、(a+b)2-37(a+b)+330=0 、

 (a+b-15)(a+b-22)=0 、a+b=22 で、ab=37(a+b)/2-303=37・22/2-303=104 、

 よって、a,b は x2-22x+104=0 の解で、x=11±√17 、

 2円の半径は 11±√17 です。

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Comments 13

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ヤドカリ  
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1週間遅れですが、
出題と解答説明を再開します。
今後もよろしくお願いします。

ひとりしずか  
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ハナチョウジすごい花数下向きなんですね~
赤い色が南国を思わせます。

今朝は19℃と湿気寒いです。

ニリンソウ  
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ラッセリア(バクチクソウ)だなと思いました。
こちらでは温室で見る花です。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
こんないっぱいのハナチョウジ見たことがありません。
まさしくバクチクのようです。
こちらでは精霊流しのとき爆竹の音がすごいですよ。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
よく分かりませんでしたが...上手く解けるものなのねぇ☆
周長に半径(の和)を掛けるのって...円の面積を求めるのに似てますね(x1/2はないけど…)…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハナチョウジがたくさん咲いていました。
これだけ咲くと見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
宮崎の行ったとき、道の駅フェニックスで撮ったものです。
駐車場の横に咲き誇っていたのですが、流石に南国です。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私もこんなにいっぱいのハナチョウジは
堀切峠と道の駅フェニックス以外では見たことがありません。
さだまさしさんの歌では爆竹の音は連想できませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
周長に半径(の和)を掛けるのは、
そんな意味より単に式を簡単にする式変形だと思ってください。

POPS  
No title

こんばんは。
ハナチョウジというのですか。初めてみたかもしれません。
真っ赤で鮮やかで綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ハナチョウジは和名で、ラッセリアといいます。
バクチクソウという通称が覚えやすいですね。
ナイス

アキチャン  
No title

こんばんわ。
真っ赤できれい♪私のリメイクドレスと全く同じ赤色ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
リメイクされたドレスもこのように赤いのですか。
どちらも見事ですね。