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[答1119] 面積の範囲

ヤドカリ

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[答1119] 面積の範囲


 半径が 2 の円に内接する四角形ABCDがあり、AD=2√2 ,BC=√6-√2 であるとき、

 四角形ABCDの面積 S の範囲は? (<,≦ を用いて表して下さい)

 また、≦ の等号が成り立つときの弧の長さの比、弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=?


[解答1]

 円の直径は 4 なので、AD/4=(√2)/2=sin45゚=sin135゚ だから、弧ADの円周角は 45゚,135゚ 、

 BC/4=(√6-√2)/4=sin15゚ だから、弧BCの円周角は 15゚ です。

 ( 165゚ は ADの円周角を加えると 180゚ を越すので不適です。)

 ここで、弧ABの円周角をα,弧CDの円周角をβとします。

 弧ADの円周角が 45゚ のとき、α+β=120゚ ですので、

  S=(1/2)・2・2・sin2α+(1/2)・2・2・sin30゚+(1/2)・2・2・sin2β+(1/2)・2・2・sin90゚

  =2sin2α+1+2sin2β+2=4sin(α+β)cos(α-β)+3=4sin60゚cos(α-β)+3

  =(2√3)cos(α-β)+3 、

  ここで、-120゚<α-β<120゚ 、(2√3)cos120゚+3<S≦(2√3)cos0゚+3 、3-√3<S≦2√3+3 で、

  等号が成り立つのは、α=β=60゚ のときだから、

  弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=60゚:15゚:60゚:45゚=4:1:4:3 です。

 弧ADの円周角が 135゚ のとき、α+β=30゚ ですので、

  S=(1/2)・2・2・sin2α+(1/2)・2・2・sin30゚+(1/2)・2・2・sin2β+(1/2)・2・2・sin270゚

  =2sin2α+1+2sin2β-2=4sin(α+β)cos(α-β)-1=4sin30゚cos(α-β)-1

  =2cos(α-β)-1 、

  ここで、-30゚<α-β<30゚ 、2cos30゚-1<S≦2cos0゚-1 、√3-1<S≦1 で、

  等号が成り立つのは、α=β=15゚ のときだから、

  弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=15゚:15゚:15゚:135゚=1:1:1:9 です。

 よって、S の範囲は √3-1<S≦1,3-√3<S≦2√3+3 、

 S=1 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=1:1:1:9 のとき、

 S=2√3+3 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=4:1:4:3 のときです。


[解答2]

 円の直径は 4 なので、AD/4=(√2)/2=sin45゚=sin135゚ だから、弧ADの円周角は 45゚,135゚ 、

 BC/4=(√6-√2)/4=sin15゚ だから、弧BCの円周角は 15゚ です。

 ( 165゚ は ADの円周角を加えると 180゚ を越すので不適です。)

 BD//CE となるように、円周上に 点Eをとれば、△BCD≡△DEB だから、

 弧BC=弧DE ,弧CD=弧BE であり、弧DEの円周角は ∠DAE=15゚ で、

 S=△ABD+△BCD=△ABD+△DEB=△AED+△ABE です。

 弧ADの円周角が 45゚ のとき、∠ADE=120゚,∠ABE=60゚、

  △AED=(1/2)(2√2)(√6-√2)sin120゚=3-√3 、

  △ABEの最大値は AB=BE のとき すなわち △ABEが正三角形のときの面積で 3√3 、

  よって、S の範囲は 3-√3<S≦3-√3+3√3=2√3+3 、

  弧AB:弧DE:弧BE:弧DA=60゚:15゚:60゚:45゚=4:1:4:3 です。

 弧ADの円周角が 135゚ のとき、∠ADE=30゚,∠ABE=150゚、

  △AED=(1/2)(2√2)(√6-√2)sin30゚=√3-1 、

  △ABEが最大となるのは AB=BE のときで 円周角は 15゚ だから AB=BE=ED のときで、

  四角形ADEBは、等辺が 2 で、頂角が 30゚ の二等辺三角形3個から

  頂角が 90゚ の二等辺三角形1個を除いたもので、その面積は 1 です。

  よって、S の範囲は √3-1<S≦1 、

  弧AB:弧DE:弧BE:弧DA=15゚:15゚:15゚:135゚=1:1:1:9 です。

 よって、S の範囲は √3-1<S≦1,3-√3<S≦2√3+3 、

 S=1 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=1:1:1:9 のとき、

 S=2√3+3 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=4:1:4:3 のときです。

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Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

小さな花のかたまり……可愛いですネ

ニリンソウ  
No title

花冥加いいですね。
ミョウガも出たようで昨日貰いました。

樹☆  
No title

こんにちは
可愛い可憐なお花と思ったらハナミョウガでしたね。
名前忘れてました。
最近よくあります。気をつけたいと思います。笑

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんばんわ~~
初めて見るお花です。

ハナミョウガなんですか?
↑、いつきさんのコメントみました^^
道東では見られないお花ですよー
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
透き通るような白い小さな花の集まりです。
雑草の中で綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
ヤブニョウガの花です。やがて濃い青い実ができるでしょう。
ミョウガのように食べられたらいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヤブニョウガの花で、妻の実家の庭の雑草の中で見ました。
これも雑草だと思いますが、白い綺麗な花を咲かせていました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヤブニョウガの花です。妻の実家の庭の雑草の中で見ました。
朝、散歩をした時も道端の所々に咲いていました。
こちらでも見たことはありますが、ほとんど見ることがありません。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
ADの優弧側 or 劣弧側にBCがあるときで考えましたが…
それぞれ、△になる場合が等号が付かないから…2つの場合に分けられるのですね☆
さいしょ、2つに分ける意味がわかりませんでした…^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
どんな図になるのかも問題の一部と考えて、
問題に図を入れなかったのがまずかったかも知れません。

???  
No title

余弦定理を使うと、弧AD、弧BCの中心角が一意的に求まります。

ヤドカリ  
No title

???さん、お久しぶりです。コメントをありがとうございます。
余弦定理で、中心角が一意的に求まるとのことですが、
私には「一意的に」が納得できません。
中心をOとすれば、cos∠AOD=0 ですが、
弧ADが劣弧であれば 90゚,優弧であれば 270゚ になります。