[答1119] 面積の範囲
[答1119] 面積の範囲
半径が 2 の円に内接する四角形ABCDがあり、AD＝2√2 ，BC＝√6－√2 であるとき、
四角形ABCDの面積 S の範囲は？ (＜，≦ を用いて表して下さい)
また、≦ の等号が成り立つときの弧の長さの比、弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝？
[解答1]
円の直径は 4 なので、AD/4＝(√2)/2＝sin45ﾟ＝sin135ﾟ だから、弧ADの円周角は 45ﾟ，135ﾟ 、
BC/4＝(√6－√2)/4＝sin15ﾟ だから、弧BCの円周角は 15ﾟ です。
( 165ﾟ は ADの円周角を加えると 180ﾟ を越すので不適です。)
ここで、弧ABの円周角をα，弧CDの円周角をβとします。
弧ADの円周角が 45ﾟ のとき、α＋β＝120ﾟ ですので、
S＝(1/2)･2･2･sin2α＋(1/2)･2･2･sin30ﾟ＋(1/2)･2･2･sin2β＋(1/2)･2･2･sin90ﾟ
＝2sin2α＋1＋2sin2β＋2＝4sin(α＋β)cos(α－β)＋3＝4sin60ﾟcos(α－β)＋3
＝(2√3)cos(α－β)＋3 、
ここで、－120ﾟ＜α－β＜120ﾟ 、(2√3)cos120ﾟ＋3＜S≦(2√3)cos0ﾟ＋3 、3－√3＜S≦2√3＋3 で、
等号が成り立つのは、α＝β＝60ﾟ のときだから、
弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝60ﾟ：15ﾟ：60ﾟ：45ﾟ＝4：1：4：3 です。
弧ADの円周角が 135ﾟ のとき、α＋β＝30ﾟ ですので、
S＝(1/2)･2･2･sin2α＋(1/2)･2･2･sin30ﾟ＋(1/2)･2･2･sin2β＋(1/2)･2･2･sin270ﾟ
＝2sin2α＋1＋2sin2β－2＝4sin(α＋β)cos(α－β)－1＝4sin30ﾟcos(α－β)－1
＝2cos(α－β)－1 、
ここで、－30ﾟ＜α－β＜30ﾟ 、2cos30ﾟ－1＜S≦2cos0ﾟ－1 、√3－1＜S≦1 で、
等号が成り立つのは、α＝β＝15ﾟ のときだから、
弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝15ﾟ：15ﾟ：15ﾟ：135ﾟ＝1：1：1：9 です。
よって、S の範囲は √3－1＜S≦1，3－√3＜S≦2√3＋3 、
S＝1 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝1：1：1：9 のとき、
S＝2√3＋3 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝4：1：4：3 のときです。
[解答2]
円の直径は 4 なので、AD/4＝(√2)/2＝sin45ﾟ＝sin135ﾟ だから、弧ADの円周角は 45ﾟ，135ﾟ 、
BC/4＝(√6－√2)/4＝sin15ﾟ だから、弧BCの円周角は 15ﾟ です。
( 165ﾟ は ADの円周角を加えると 180ﾟ を越すので不適です。)
BD//CE となるように、円周上に 点Eをとれば、△BCD≡△DEB だから、
弧BC＝弧DE ，弧CD＝弧BE であり、弧DEの円周角は ∠DAE＝15ﾟ で、
S＝△ABD＋△BCD＝△ABD＋△DEB＝△AED＋△ABE です。
弧ADの円周角が 45ﾟ のとき、∠ADE＝120ﾟ，∠ABE＝60ﾟ、
△AED＝(1/2)(2√2)(√6－√2)sin120ﾟ＝3－√3 、
△ABEの最大値は AB＝BE のとき すなわち △ABEが正三角形のときの面積で 3√3 、
よって、S の範囲は 3－√3＜S≦3－√3＋3√3＝2√3＋3 、
弧AB：弧DE：弧BE：弧DA＝60ﾟ：15ﾟ：60ﾟ：45ﾟ＝4：1：4：3 です。
弧ADの円周角が 135ﾟ のとき、∠ADE＝30ﾟ，∠ABE＝150ﾟ、
△AED＝(1/2)(2√2)(√6－√2)sin30ﾟ＝√3－1 、
△ABEが最大となるのは AB＝BE のときで 円周角は 15ﾟ だから AB＝BE＝ED のときで、
四角形ADEBは、等辺が 2 で、頂角が 30ﾟ の二等辺三角形３個から
頂角が 90ﾟ の二等辺三角形１個を除いたもので、その面積は 1 です。
よって、S の範囲は √3－1＜S≦1 、
弧AB：弧DE：弧BE：弧DA＝15ﾟ：15ﾟ：15ﾟ：135ﾟ＝1：1：1：9 です。
よって、S の範囲は √3－1＜S≦1，3－√3＜S≦2√3＋3 、
S＝1 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝1：1：1：9 のとき、
S＝2√3＋3 が成り立つのは 弧AB：弧BC：弧CD：弧DA＝4：1：4：3 のときです。
.
