[答1119] 面積の範囲
[答1119] 面積の範囲
半径が 2 の円に内接する四角形ABCDがあり、AD=2√2 ,BC=√6-√2 であるとき、
四角形ABCDの面積 S の範囲は? (<,≦ を用いて表して下さい)
また、≦ の等号が成り立つときの弧の長さの比、弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=?
[解答1]
円の直径は 4 なので、AD/4=(√2)/2=sin45゚=sin135゚ だから、弧ADの円周角は 45゚,135゚ 、
BC/4=(√6-√2)/4=sin15゚ だから、弧BCの円周角は 15゚ です。
( 165゚ は ADの円周角を加えると 180゚ を越すので不適です。)
ここで、弧ABの円周角をα,弧CDの円周角をβとします。
弧ADの円周角が 45゚ のとき、α+β=120゚ ですので、
S=(1/2)・2・2・sin2α+(1/2)・2・2・sin30゚+(1/2)・2・2・sin2β+(1/2)・2・2・sin90゚
=2sin2α+1+2sin2β+2=4sin(α+β)cos(α-β)+3=4sin60゚cos(α-β)+3
=(2√3)cos(α-β)+3 、
ここで、-120゚<α-β<120゚ 、(2√3)cos120゚+3<S≦(2√3)cos0゚+3 、3-√3<S≦2√3+3 で、
等号が成り立つのは、α=β=60゚ のときだから、
弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=60゚:15゚:60゚:45゚=4:1:4:3 です。
弧ADの円周角が 135゚ のとき、α+β=30゚ ですので、
S=(1/2)・2・2・sin2α+(1/2)・2・2・sin30゚+(1/2)・2・2・sin2β+(1/2)・2・2・sin270゚
=2sin2α+1+2sin2β-2=4sin(α+β)cos(α-β)-1=4sin30゚cos(α-β)-1
=2cos(α-β)-1 、
ここで、-30゚<α-β<30゚ 、2cos30゚-1<S≦2cos0゚-1 、√3-1<S≦1 で、
等号が成り立つのは、α=β=15゚ のときだから、
弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=15゚:15゚:15゚:135゚=1:1:1:9 です。
よって、S の範囲は √3-1<S≦1,3-√3<S≦2√3+3 、
S=1 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=1:1:1:9 のとき、
S=2√3+3 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=4:1:4:3 のときです。
[解答2]
円の直径は 4 なので、AD/4=(√2)/2=sin45゚=sin135゚ だから、弧ADの円周角は 45゚,135゚ 、
BC/4=(√6-√2)/4=sin15゚ だから、弧BCの円周角は 15゚ です。
( 165゚ は ADの円周角を加えると 180゚ を越すので不適です。)
BD//CE となるように、円周上に 点Eをとれば、△BCD≡△DEB だから、
弧BC=弧DE ,弧CD=弧BE であり、弧DEの円周角は ∠DAE=15゚ で、
S=△ABD+△BCD=△ABD+△DEB=△AED+△ABE です。
弧ADの円周角が 45゚ のとき、∠ADE=120゚,∠ABE=60゚、
△AED=(1/2)(2√2)(√6-√2)sin120゚=3-√3 、
△ABEの最大値は AB=BE のとき すなわち △ABEが正三角形のときの面積で 3√3 、
よって、S の範囲は 3-√3<S≦3-√3+3√3=2√3+3 、
弧AB:弧DE:弧BE:弧DA=60゚:15゚:60゚:45゚=4:1:4:3 です。
弧ADの円周角が 135゚ のとき、∠ADE=30゚,∠ABE=150゚、
△AED=(1/2)(2√2)(√6-√2)sin30゚=√3-1 、
△ABEが最大となるのは AB=BE のときで 円周角は 15゚ だから AB=BE=ED のときで、
四角形ADEBは、等辺が 2 で、頂角が 30゚ の二等辺三角形3個から
頂角が 90゚ の二等辺三角形1個を除いたもので、その面積は 1 です。
よって、S の範囲は √3-1<S≦1 、
弧AB:弧DE:弧BE:弧DA=15゚:15゚:15゚:135゚=1:1:1:9 です。
よって、S の範囲は √3-1<S≦1,3-√3<S≦2√3+3 、
S=1 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=1:1:1:9 のとき、
S=2√3+3 が成り立つのは 弧AB:弧BC:弧CD:弧DA=4:1:4:3 のときです。
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