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[答1120] 自然数の和で表す

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1120] 自然数の和で表す


 自然数を、小さい数を大きい数の前にならないように、前から3番目は2であるように、

 何個かの自然数の和で表します。例えば、9は、5+2+2,4+3+2,4+2+2+1,3+3+2+1,

 3+2+2+2,3+2+2+1+1,2+2+2+2+1,2+2+2+1+1+1 の 8通りの表し方があります。

 では、33の表し方は何通り?


[解答]

 一般化して nの表し方が何通りかを求めます。

 n=□+□+2+□+……と表すとき、式の最初の数を 2+a ,2番目の数を 2+b とし、

 4番目以後はあっても +2 か +1 ですので、その個数を c ,そのうち +2 の個数を d とすれば、

 a≧b≧0 ,c≧d≧0 ,a+b+c+d=n-6 です。

 a+b=k とすれば、k=0,1,2,……,n-6 で、b≦[k/2] なので、(a,b)は [k/2]+1 通りです。

 c+d=n-6-k ですので、(c,d)は [(n-6-k)/2]+1=[(n-k)/2]-2 通りです。

 よって、(a,b,c,d)は ([k/2]+1)([(n-k)/2]-2) 通りあり、

 k=0,1,2,……,n-6 とするときの和が求める答です。

 k が偶数のとき、k=2m とおけば、

  ([k/2]+1)([(n-k)/2]-2)=(m+1)([n/2]-m-2) 、

  m=0,1,……,[n/2]-3 として加えれば、

  1・([n/2]-2)+2・([n/2]-3)+3・([n/2]-4)+……+([n/2]-2)・1 ですが、

  これば、1,2,……,[n/2] から3個の数を選ぶのに、

  真ん中の数(小さい方から2番目の数)が 2,3,……,[n/2]-1 である場合を加えたものだから、

  1・([n/2]-2)+2・([n/2]-3)+3・([n/2]-4)+……+([n/2]-2)・1=[n/2]3 です。

 k が奇数のとき、k=2m+1 とおけば、

  ([k/2]+1)([(n-k)/2]-2)=(m+1)([(n-1)/2]-m-2) 、

  m=0,1,……,[(n-1)/2]-3 として加えれば、

  1・([(n-1)/2]-2)+2・([(n-1)/2]-3)+3・([(n-1)/2]-4)+……+([(n-1)/2]-2)・1 ですが、

  これば、1,2,……,[(n-1)/2] から3個の数を選ぶのに、

  真ん中の数(小さい方から2番目の数)が 2,3,……,[(n-1)/2]-1 である場合を加えたものだから、

  1・([(n-1)/2]-2)+2・([(n-1)/2]-3)+3・([(n-1)/2]-4)+……+([(n-1)/2]-2)・1=[(n-1)/2]3 です。

 よって、その総数は、[n/2]3[(n-1)/2]3 です。

 本問は n=33 のときですので、163163=1120 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
No title

シラユキソウはじめて目にしたとき雪が降ったようと魅入ったのを思い出します。
裏隣りのお宅で少しだけ咲いているのですが……

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ハツユキソウという名前が普通だと認識していました。
シラユキソウを調べるとこれもありましたが、別の植物が載っていました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
2+2+(2)+α として、αは2,1に分割…
前の2個に33-6-αを分割する場合で求めました…^^
分割数にも似た問題ですわね☆
どんなところからこんな問題を思いつかれるのか興味があります ^^v
Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
3番目を2に決まっているので考えやすいですね。
2+2+(2)+ で残りをどう振り分けるかですね。

樹☆  
No title

夏に白い雪のようなお花は涼しさを感じます。。
今日も突然どしゃぶりの雨が降りました。
何事も程々にしてもらいたいです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
こちらでも急な雨が時々あります。
東京では昨日で連続21日雨が降ったそうですね。

ニリンソウ  
No title

これも夏には涼しげですね。
ハツユキソウでしたね、花より葉が目立ちます。

傘マークが出ても降らないで水やりがひと仕事
降って貰いたい。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
ハツユキソウは葉の涼し気な色に存在感があります。
こちらは、晴れたり曇ったりですが、
天気が急変するかも知れないとの予報です。