[答109] 四面体に内接する球の半径
[答109] 四面体に内接する球の半径
AB=5cm, AC=9cm, AD=4cm, AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB である四面体に内接する球の半径は?
[解答1]
空間座標で、A(0,0,0), B(5,0,0), C(0,9,0), D(0,0,4) 球の中心を R(r,r,r) とします。
平面BCDは 36x+20y+45z-180=0 で、Rとの距離は、
|36r+20r+45r-180|/√(362+202+452 )=r、
2乗して (101r-180)2/3721=r2、6480r2-36360r+32400=0、
18r2-101r+90=0、(9r-10)(2r-9)=0、r=10/9, 9/2。
このうち、36x+20y+45z-180<0 に R が存在するのは、r=10/9 となります。
[解答2]
この四面体は、右の正方形を点線で山折にして、△ABDを切り離して裏返してできます。
多面体に内接する球の半径rと表面積Sと体積Vの関係は、Sr/3=V だから r=3V/S。
V=(5・9/2)・4/3=30、S=92=81 だから、r=3・30/81=10/9 cm です。
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