[答109] 四面体に内接する球の半径

[答109] 四面体に内接する球の半径


　AB＝5cm, AC＝9cm, AD＝4cm, AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB である四面体に内接する球の半径は？


[解答1]

　空間座標で、A(0,0,0), B(5,0,0), C(0,9,0), D(0,0,4) 球の中心を R(r,r,r) とします。

　平面BCDは 36x＋20y＋45z－180＝0 で、Rとの距離は、

　|36r＋20r＋45r－180|/√(36²＋20²＋45² )＝r、

　２乗して (101r－180)²/3721＝r²、6480r²－36360r＋32400＝0、

　18r²－101r＋90＝0、(9r－10)(2r－9)＝0、r＝10/9, 9/2。

　このうち、36x＋20y＋45z－180＜0 に R が存在するのは、r＝10/9 となります。


[解答2]

　この四面体は、右の正方形を点線で山折にして、△ABDを切り離して裏返してできます。

　多面体に内接する球の半径ｒと表面積Ｓと体積Ｖの関係は、Sr/3＝V だから r＝3V/S。

　V＝(5･9/2)･4/3＝30、S＝9²＝81 だから、r＝3･30/81＝10/9 cm です。

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