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[答109] 四面体に内接する球の半径

ヤドカリ

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[答109] 四面体に内接する球の半径


 AB=5cm, AC=9cm, AD=4cm, AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB である四面体に内接する球の半径は?


[解答1]

 空間座標で、A(0,0,0), B(5,0,0), C(0,9,0), D(0,0,4) 球の中心を R(r,r,r) とします。

 平面BCDは 36x+20y+45z-180=0 で、Rとの距離は、

 |36r+20r+45r-180|/√(362+202+452 )=r、

 2乗して (101r-180)2/3721=r2、6480r2-36360r+32400=0、

 18r2-101r+90=0、(9r-10)(2r-9)=0、r=10/9, 9/2。

 このうち、36x+20y+45z-180<0 に R が存在するのは、r=10/9 となります。


[解答2]

 この四面体は、右の正方形を点線で山折にして、△ABDを切り離して裏返してできます。

 多面体に内接する球の半径rと表面積Sと体積Vの関係は、Sr/3=V だから r=3V/S。

 V=(5・9/2)・4/3=30、S=92=81 だから、r=3・30/81=10/9 cm です。

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Comments 2

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uch*n*an  
No title

この問題で,直角をはさむ辺の長さが a, b, c の場合,
△BCD = √((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2)/2
になるようです。三平方の定理みたいで面白いですね。
なお,c = a + b の場合は,
△BCD = (a^2 + ab + b^2)/2
で,四面体の表面積の正方形への埋め込みを再現します。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私もその式をを見つけ、何とか簡単に出せる場合がないかを考えて、
c = a + b の場合にたどりつきました。