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[答1121] 方程式の解の個数

ヤドカリ

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[答1121] 方程式の解の個数


 xの方程式 8x+8-x-18(4x+4-x)+99(2x+2-x)-175+a=0 の異なる実数解の個数が、

 3個であるときの定数 a の値は? また、4個であるときの定数 a の値は?


[解答]

 2x+2-x=t とおけば、4x+4-x=t2-2 ,8x+8-x=t3-3t ですので、

 t3-3t-18(t2-2)+99t-175+a=0 、t3-18t2+96t-139+a=0 、-t3+18t2-96t+139=a になり、

 f(t)=-t3+18t2-96t+139 とおき、y=f(t) と y=a のグラフの共有点を考えます。

 ここで、t=2x+2-x は x<0 のとき単調減少 ,x=0 のとき t=2 ,x>0 のとき単調増加 ,

 x→±∞ のとき t→∞ なので、

 t>2 に対する x の値は2個 ,t=2 に対する x の値は1個(x=0) ,t<2 に対する x の値はなし

 となりますので、

 異なる3個の実数解 x をもつのは、y=f(t) と y=a のグラフの共有点が t=2 と t>2 の2ヶ所の場合、

 異なる4個の実数解 x をもつのは、y=f(t) と y=a のグラフの共有点が t>2 で2ヶ所の場合です。

 f'(t)=-3t2+36t-96=-3(t-4)(t-8) ですので、

 f(t)は 2≦t<4 で 単調減少 ,4<t<8 で 単調増加 ,8<t で 単調減少 になり、

 f(2)=11 ,f(4)=-21 ,f(8)=11 ,f(10)=-21 ですので、

 異なる3個の実数解をもつのは a=11 のとき、異なる4個の実数解をもつのは a=-21 のときです。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

サルスベリ?色混じりの花びらはじめて見ます。
内側が赤なんですネ
華やかさが増して……

樹☆  
No title

おはようございます
百日紅にも源平咲きがあるのですね。
初めてみました。

朝は少し涼しくなってきましたね。

ニリンソウ  
No title

変わった百日紅ですね。
赤、紫、白、がほとんど。。。今盛り。

ナイス

ゆうこ つれづれ日記  
No title

なんと言うお花かな~~~
今日も上の方のコメントを読ませてもらって・・・^^
サルスベリなんですね。
二色のサルスベリはブログでも初めて見ました。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
同じように考えました☆
4次式だからこういう上手い設定でのパズルっぽい問題が可能なのですね ^^♪ Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
百日紅でしょうか。
見たことのない色合いで、紅白の花が綺麗ですね。
一度見てみたいです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、サルスベリです。
2色が混じっているのが珍しく、アップしました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
紅白別々にはよく存在するのですが、これは珍しいと思います。
ところで、此方は朝から暑くて体力を奪われます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
宮崎に行ったときに散歩をしていて見ました。
これ以外で見たのは、百日紅の苗を売っている店だけです。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
2色が混じっているのは、私もこの写真を撮った所だけです。
苗は店で見たことがありますが小さなものです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
この問題は、この解き方が定番ですね。
ところで、書庫は変えました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
見たことのない人が多いことをコメントで知りました。
私がこれを見ることができてラッキーなのですね。