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[答1122] 五角形内の三角形の面積

ヤドカリ

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[答1122] 五角形内の三角形の面積


 面積が 704 である凸五角形ABCDEがあって、

 ∠BCD=∠CDE=90゚,BC=CD=DE,AB=22,AC=42 のとき、△ABCの面積は?


[解答1]

 xy平面において、A(a,b),B(0,k),C(0,0),D(k,0),E(k,k) (a>0,b>0,k>0) とします。

 AC2=422 より、a2+b2=1764 ……(1) になり、

 AB2=222 より、a2+(b-k)2=222 、a2+b2-2kb+k2=484 、1764-2kb+k2=484 、

 k2-2kb=-1280 ……(2) になり、

 五角形ABCDEの面積は k2+k(b-k)/2=704 、k2+kb=1408 ……(3) になります。

 (2)(3)より、k2=512 ,kb=896 になり、k=16√2 ,b=28√2 です。

 (1) に代入して、a2+1568=1764 、a2=196 、a=14 です。

 △ABC=ka/2=(16√2)・14/2=112√2 です。


[解答2]

 正方形BCDEの面積をS,Bを中心にしてAを90゚回転して移る点をFとします。

 △ABE=五角形ABCDE-S=704-S 、△BFC=△ABE=704-S 、

 AB=BF=22,AB⊥BF より △AFB=222/2=242 、

 AC=EF=42,AC⊥EF より 四角形AFCE=422/2=882 、

 また、四角形AFCE=△ABE+△AFB+△BFC+△BCE=704-S+242+704-S+S/2=1650-3S/2 、

 882=1650-3S/2 、3S/2=768 、S=512 、BC=BE=√S=16√2 です。

 次に、Aから直線BEにおろした垂線をAHとすれば、

 △ABE=AH・BE/2=704-S 、AH・(16√2)/2=704-512 、AH=12√2 、

 BH=√(AB2-AH2)=√(484-288)=14 、

 △ABC=BC・BH/2=(16√2)・14/2=112√2 です。

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Comments 8

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詩織  
No title

おはようさんどす

認証制最高どすねぇナイス(^^♪

私もはじめから認証制を使っています

色々な事書いて来る方もいますから
これは、正解どすよねぇ

今週もよろしくお願いいたします

ひとりしずか  
No title

ノリウツギかな……
レースの花柄みたい

ニリンソウ  
No title

ピラミッド紫陽花(ノリウツギ)かな
今頃咲いてて爽やかですね。
ヤドカリさんお好きな白ですよ。

ヤドカリ  
No title

詩織さん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私がヤフーブログを始めた頃は承認制がありませんでした。
未承認のコメントは「最新のコメント」には表示されるのですが、
「すべて表示」したときには表示されません。
以前の記事にコメントを頂いた場合に見落とす恐れがあり、
承認制にしたくなかったのですが、やむを得ないですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ノリウツギです。
逆に、レースの花柄はこれを見て思いついたのかなぁと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
白い紫陽花としてはアナベルがあるのですが、雰囲気は違いますね。
これが糊として使えるのですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
算数っぽく解けるんですねぇ☆
わたしゃ…余弦とピタゴラスを使っちゃいました…^^
図形は色々なアプローチがあって面白いです♪

わたしも承認制の欄があります…
炎上した時は...見るのも辛かったです…
マナーというルールは常識と思うのですが…^^;
それができない人のコメって…乱暴狼藉=暴力あるね!!
無視/スルーしてもよかと思ってますわ…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
いろいろと工夫できる問題は好きなのですが、
より良い解法を見落としている可能性があり怖いです。
ところで、「コメント承認制について」の記事はコメント欄を設けていませんが、
7人の方にナイス!を頂いています。
ブログを一旦閉じて再開設した方、いつも記事投稿後 時間をおいて公開する方、
要らぬことに神経を使わせるのは暴力だと、私も思います。