FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1124] 内接円と等差数列

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1124] 内接円と等差数列


 半径が 1 の円に内接する三角形があり、辺の長さを a,b,c 、その内接円の半径を r とします。

 r,a,b,c が等差数列をなすとき、b=?


[解答1]

 r<a<b<c であり、r=2k-2d ,a=2k-d ,b=2k ,c=2k+d とします。

 (a+b+c)/2=3k なので、三角形の面積 S はヘロンの公式により、

 S=√{3k(3k-a)(3k-b)(3k-c)}=k√{3(k+d)(k-d)} になります。

 S=3kr なので、k√{3(k+d)(k-d)}=3k(2k-2d) 、√{3(k+d)(k-d)}=3(2k-2d) 、

 3(k+d)(k-d)=36(k-d)2 、k+d=12(k-d) 、13d=11k です。

 外接円の半径を R とすれば、4RS=abc より、

 4k√{3(k+d)(k-d)}=(2k-d)・2k・(2k+d) 、2√{3(k+d)(k-d)}=(2k-d)(2k+d) 、

 12(k+d)(k-d)=(2k-d)2(2k+d)2 、132・12(13k+13d)(13k-13d)=(26k-13d)2(26k+13d)2

 132・12(13k+11k)(13k-11k)=(26k-11k)2(26k+11k)2 、132・12・24k・2k=(15k)2・(37k)2

 132・12・24・2=152・372k2 、15・37k=13・24 、k=104/185 、b=2k=208/185=1.1243243…… です。


[解答2]

 △ABCの A,B,C の対辺をそれぞれ a,b,c とし、s=(a+b+c)/2 とすれば、

 A,B,C と各辺と内接円の接点との距離は s-a,s-b,s-c ですので、

 1/tan(A/2)=(s-a)/r ,1/tan(B/2)=(s-b)/r ,1/tan(C/2)=(s-c)/r です。

 r,a,b,c が等差数列をなすので、1/tan(A/2),1/tan(B/2),1/tan(C/2) も等差数列で、

 r=2a-b 、c=2b-a 、s-c=(a+b+c)/2-c=(a+b-c)/2=(a+b-2b+a)/2=(2a-b)/2=r/2 、

 1/tan(C/2)=(s-c)/r=1/2 です。

 よって、1/tan(B/2)=1/t とおけば、1/tan(A/2)=2/t-1/2 になります。

 ここで、90゚-A/2=α ,90゚-B/2=β ,90゚-C/2=γ とおけば、

 tanα=2/t-1/2 ,tanβ=1/t ,tanγ=1/2 になり、α+β+γ=180゚ ですので、

 tan(α+β)=-tanγ 、(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=-tanγ 、

 tanα+tanβ=-tanγ+tanαtanβtanγ 、tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ が成り立ち、

 2/t-1/2+1/t+1/2=(2/t-1/2)(1/t)(1/2) 、3/t=(1/t-1/4)/t 、3=1/t-1/4 、t=4/13 です。

 また、tan(B/2)=t ですので、sinB=2t/(1+t2)=(8/13)/(1+16/169)=104/185 、

 正弦定理より、b=2・1・sinB=208/185=1.1243243…… です。


[参考]

 r,a,b,c が等差数列をなすとき、

 a:b:c=(2k-d):2k:(2k+d)=(26k-13d):26k:(26k+13d)=(26k-11k):26k:(26k+11k)

 a:b:c=15:26:37 で、最大角の余弦は -3/5 ,最小角の余弦は 35/37 です。

 図のように、辺が 3,4,5 のとき 内接円の直径が 2 、

 こちらは、直径を使って、2,3,4,5 が等差数列になるのは偶然だと思いますが、面白いです。

.

スポンサーサイト



Comments 14

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
かわいいピンク色♪

ひとりしずか  
No title

ナツズイセンかな……
麻痺、痙攣、嘔吐などの中毒症状が出る有毒植物なんですネ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1]もどきでPCに計算させましたぁ…^^;v

右図の△がr,a,b,cで等差数列なら...その外接円の半径が1のときに縮小すれば求まるはずと...
4RS=abc
2R*26*6=15*26*37
R=15*37/12=5*37/4
so…b=26*4/(5*37)=104/185 となってしまうので…図の△と相似なものではないようなのねぇ…不思議…?…^^; Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
ナツスイセンでしょうか。
綺麗な色合いで、これからは彼岸花の開花が進んできそうですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
朝、散歩をしていて見つけました。
ピンクの花は優しい感じがしますね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントをありがとうございます。
この種の植物には毒草が多いですね。
見る分には奇麗だと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私にはコメントの意味がよく分からないのですが、
内接円の半径と辺が等差数列であるのは 4:15:26:37 、
内接円の直径と辺が等差数列であるのは 2:3:4:5 です。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ナツズイセンです。
これから、ヒガンバナやネリネなど似た花が咲きますね。

ニリンソウ  
No title

こんばんは~
ナツズイセンにしても丁度いい咲き具合で
色も素敵ですネ。
青い空が綺麗な日でした森ではまだ蝉の声がしています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ナツズイセンは他にも咲いていたのですが、花が多すぎてらしくありませんでした。
ところで、例年は8月下旬には鳴いているツクツクボウシは
今になってよく鳴いています。

スモークマン  
No title


半径1の円に内接する△でのその△の内接円の半径r,a,b,cが等差数列なので…アップされてる△15,26,37を縮めたものかと思ったのですが…
そうではないようだったのが不思議でした ^^
何か勘違いしてたらすみません Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
tの値が決まり、tan(A/2)=1/6 ,tan(C/2)=2 より
sinA=12/37 ,sinC=4/5 になり、
sinA:sinB:sinC=15:26:37 になります。

樹☆  
No title

ピンクの色が美しいですね。
爽やかで、ほんのり優しい感じがします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクの花は優しい感じがしますね。
道端に咲いていました。