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[答1126] 積分の極限

ヤドカリ

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[答1126] 積分の極限


 負でない整数nについて、 Fn(x)=∫1x (logt)n/t2 dt とするとき、 lim Fn(x)=?
                                  x→∞


[解答]

 lim Fn(x)=Fn とします。
 x→∞
 また、fn(t)=et-tn/n! とすれば、 f0(t)=et-1 は、t>0 の範囲で f0(t)>0 、

 n≧1 のとき、fn(0)=1 で、fn'(t)=et-tn-1/(n-1)!=fn-1(t) だから、

 t>0 の範囲で、fn-1(t)>0 ならば fn(t)>0 が成り立ちます。

 数学的帰納法により、負でないすべての整数nについて fn(t)>0 、et>tn/n! です。

 以上のことをふまえて、積分を計算します。

 まず、F0(x)=∫1x 1/t2 dx =[-1/t]1x=-1/x+1 、F0=1 です。

 n≧1 のとき、

 Fn(x)=∫1x (logt)n/t2 dt = [(-1/t)(logt)n]1x+∫1x (1/t)・n(logt)n-1(1/t) dt = -(logx)n/x+n・Fn-1(x) 、

 ここで、x=et とおけば、(logx)n/x=tn/et

 t>0 の範囲で、0<tn/et<tn/{tn+1/(n+1)!}=(n+1)!/t なので、

 はさみうちの原理により、t→∞ のとき tn/et→0 、x→∞ のとき (logx)n/x→0 です。

 従って、Fn(x)=-(logx)n/x+n・Fn-1(x) で x→∞ として Fn=n・Fn-1 になり、

 n! で割って、Fn/n!=Fn-1/(n-1)! 、Fn/n! は一定で、Fn/n!=F0/0!=1 、Fn=n! です。

☆ F0=1 ,F1=1 ,F2=2 ,F3=6 ですので、[1126]の問題にしました。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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プルメリア やさしい色合いですネ

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
芽も覚めるような綺麗な可愛らしい花
ヒガンバナ香の種類かな。
いい花みつけますね、 ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
積分の複雑なものには馴染みのないわたしには…
最初の『fn(t)=et-tn/n! とすれば』からして、
どうしてそのようなことが考えられるのか...その蓋然性が分かりません…^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title


写真の花はプルメリアです。
フランスの植物学者シャルル・プリュミエの
名前にちなんでつけられました。
ハワイでは
満月の夜明けにまだ朝霧に包まれたままのプルメリアの花を集めてレイを作り、
好きな人に渡すことができれば、その夢が叶う
という言い伝えがあるそうです。

ヤドカリ  
No title

> 2017/9/11(月) 午前 6:52の鍵コメ様
早速のコメントをありがとうございます。
プルメリアを調べて頂いたのですね。
寒さに弱い植物ですので、
日本ではあまり流通しないようで、
生花は高価のようです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
プルメリアの色は何種類かあるようです。
薄い色が綺麗だと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
写真の花は上に記しましたようにプルメリアです。
レイやブーケにも使われるようです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
最初の数行は、何となく分かることですが、
部分積分の途中で出てくる -(logx)^n/x が
0 に収束することを用意しただけです。

樹☆  
No title

こんばんは
プルメリアというお花ですか?
友達からお土産に頂いた造花が
これでした。レイではなく髪飾りでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
髪飾りとしても使われるそうです。
ハワイでは、未婚者は右、既婚者は左につけるそうですよ。