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[答1127] 余弦が等差数列

ヤドカリ

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[答1127] 余弦が等差数列


 3辺が 32,35,x の三角形があり、3つの角の余弦(cos)が等差数列をなすとき x=?


[解答]

 正三角形以外で3つの角の余弦(cos)が等差数列をなすのは、不等辺三角形ですので、

 3辺を短い方から a,b,c とし、その対角を A,B,C とすれば、

 a<b<c より A<B<C 、cosA>cosB>cosC になり、cosA+cosC=2cosB 、

 (b2+c2-a2)/(2bc)+(a2+b2-c2)/(2ab)=(a2+c2-b2)/(2ac) 、

 a(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)=2b(a2+c2-b2) 、

 ac(a+c)+b2(a+c)-(a+c)3+3ac(a+c)=2b{(a+c)2-2ac-b2} 、

 4ac(a+c)+4acb=(a+c)3-(a+c)b2+2(a+c)2b-2b3

 4ac(a+c+b)=(a+c)(a+c+b)(a+c-b)+2b(a+c+b)(a+c-b) 、

 4ac=(a+c)(a+c-b)+2b(a+c-b) 、4ac=(a+c)2+b(a+c)-2b2

 b(2b-a-c)=(c-a)2 です。

 b=32,c=35 のとき、32(29-a)=(35-a)2 、a2-38a+297=0 、(a-11)(a-27)=0 、

  35-32<a<32 より、a=11,27 になり、

 a=32,c=35 のとき、b(2b-67)=32 、2b2-67b-9=0 、

  32<b<35 より、b=(67+√4561)/4 になり、

 a=32,b=35 のとき、35(38-c)=(c-32)2 、c2-29c-306=0 、

  35<c<32+35 より、c=(29+√2065)/2 になります。

 従って、x=11,27,(67+√4561)/4,(29+√2065)/2 です。


[参考]

 11,32,35 や 27,32,35 のような整数比になるものを求めてみます。

 b(2b-a-c)=(c-a)2 より、

 2b>a+c で、b,2b-a-c の最大公約数を G とすれば、

 b=k2G,2b-a-c=n2G と表せ、c-a=knG 、また、a+c=2b-n2G=2k2G-n2G 、

 2c=2k2G+knG-n2G ,2a=2k2G-knG-n2G になり、

 a:b:c=2a:2b:2c=(2k2-kn-n2):2k2:(2k2+kn-n2) です。

 ここで、a+b>c より、4k2-kn-n2>2k2+kn-n2 、2k2>2kn 、k>n です。

 k=(m+n) として書き換えれば、

 (2k2-kn-n2):2k2:(2k2+kn-n2)

  ={2(m+n)2-(m+n)n-n2}:2(m+n)2:{2(m+n)2+(m+n)n-n2

  =m(2m+3n):2(m+n)2:(2m2+5mn+2n2)

 本問は (m,n)=(1,3),(3,1) として作問しました。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
こちらはまだまだ暑いけれど、秋になってきましたね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
台風の進路を気にしながらもこちらはいい空です。
ススキの仲間イネ科の植物かな?
細い穂が涼やかな色ですね。
困ったですね今「北朝鮮からミサイルが発射とメール入りました」

ひとりしずか  
No title

この草以前見たことありますが、名前思い出せない……
細~い穂(?)が魅力!

樹☆  
No title

こんにちは
赤いススキですか?
これから白くなってゆくのかな。

花火のようできれいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
日向はまだまだ暑いですが、朝晩は涼しくなってきました。
景色も秋色になってきました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
上に記しましたように、イネ科の植物です。
ところで、台風は予報できてもミサイルは突然で困りますね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
名前は、ミューレンベルギア・カピラリスです。
名前はすぐ忘れてしまいそうですが、魅力的で姿は覚えられそうです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、ミューレンベルギア・カピラリスです。
赤いススキですか?って! 赤いキツネでないことは確かです(笑)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしは...
AB*cosB+AC*cosC=BC
みたいな式で…
AB,BC,CA の大小関係から求めました…^^;
たとえば…
x<32<35
x(m+k)+35(m-k)=32,
32(m-k)+x*m=35,
35*m+32(m+k)=x
の連立三元方程式をPCに求めさせ…
x=11 or 27
ってなことで…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
3行目は第1余弦定理です。
文字はいくつ使っても良いのですが、多く使えば方程式が解きにくくなりますね。