[答1128] 三角数からの引き算
[答1128] 三角数からの引き算
自然数nを用いて n(n+1)/2 で表される自然数を三角数といいます。
T-4-8-12-…… と 4の倍数を小さい方から次々に 負になる直前まで引くと 24 になるとき、
三角数 T の値は?
[解答1]
T=n(n+1)/2 とし、引く数の最後を 4m とすれば、
n(n+1)/2-4・m(m+1)/2=24 かつ 4(m+1)>24 、
4n(n+1)-16m(m+1)=192 、(2n+1)2-1-(4m+2)2+4=192 、
(2n+1)2-(4m+2)2=189 、(2n+4m+3)(2n-4m-1)=189 、
(2n+4m+3,2n-4m-1)=(189,1),(63,3),(27,7),(21,9) 、
(2n+4m+3)-(2n-4m-1)=8m+4>44 ですので、(27,7),(21,9)は適しません。
よって、(2n+4m+3,2n-4m-1)=(189,1),(63,3) 、(2n+4m,2n-4m)=(186,2),(60,4) 、
(4n,8m)=(188,184),(64,56) 、(n,m)=(47,23),(16,7) 、
T=47(47+1)/2=1128 または T=16(16+1)/2=136 です。
[解答2]
図のように、三角形状に○を並べ、4個,8個,12個,…… と色をつければ、
nが奇数のとき残るのは (n+1)/2 個、nが偶数のとき残るのは 3n/2 個です。
(n+1)/2=24 のとき n=47 、T=47(47+1)/2=1128 で、
3n/2=24 のとき n=16 、T=16(16+1)/2=136 です。
[解答3]
T-4-8-12-……-4m=24 として、2T-8-16-24-……-8m=48 であり、
n×(n+1) の長方形で、図のように、8個,16個,24個,…… と色をつければ、
nが奇数のとき残るのは 2(m+1)=n+1=48 個、n=47 、T=47(47+1)/2=1128 で、
nが偶数のとき残るのは 3・2(m+1)=3n=48 個、n=16 、T=16(16+1)/2=136 です。
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