[答1128] 三角数からの引き算

[答1128] 三角数からの引き算


　自然数ｎを用いて n(n＋1)/2 で表される自然数を三角数といいます。

　T－4－8－12－…… と ４の倍数を小さい方から次々に 負になる直前まで引くと 24 になるとき、

　三角数 T の値は？


[解答1]

　T＝n(n＋1)/2 とし、引く数の最後を 4m とすれば、

　n(n＋1)/2－4･m(m＋1)/2＝24 かつ 4(m＋1)＞24 、

　4n(n＋1)－16m(m＋1)＝192 、(2n＋1)²－1－(4m＋2)²＋4＝192 、

　(2n＋1)²－(4m＋2)²＝189 、(2n＋4m＋3)(2n－4m－1)＝189 、

　(2n＋4m＋3，2n－4m－1)＝(189，1)，(63，3)，(27，7)，(21，9) 、

　(2n＋4m＋3)－(2n－4m－1)＝8m＋4＞44 ですので、(27，7)，(21，9)は適しません。

　よって、(2n＋4m＋3，2n－4m－1)＝(189，1)，(63，3) 、(2n＋4m，2n－4m)＝(186，2)，(60，4) 、

　(4n，8m)＝(188，184)，(64，56) 、(n，m)＝(47，23)，(16，7) 、

　T＝47(47＋1)/2＝1128 または T＝16(16＋1)/2＝136 です。


[解答2]

　図のように、三角形状に○を並べ、4個，8個，12個，…… と色をつければ、

　ｎが奇数のとき残るのは (n＋1)/2 個、ｎが偶数のとき残るのは 3n/2 個です。

　(n＋1)/2＝24 のとき n＝47 、T＝47(47＋1)/2＝1128 で、

　3n/2＝24 のとき n＝16 、T＝16(16＋1)/2＝136 です。


[解答3]

　T－4－8－12－……－4m＝24 として、2T－8－16－24－……－8m＝48 であり、

　n×(n＋1) の長方形で、図のように、8個，16個，24個，…… と色をつければ、

　ｎが奇数のとき残るのは 2(m＋1)＝n＋1＝48 個、n＝47 、T＝47(47＋1)/2＝1128 で、

　ｎが偶数のとき残るのは 3･2(m＋1)＝3n＝48 個、n＝16 、T＝16(16＋1)/2＝136 です。

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