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[答1129] 平面の分割

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1129] 平面の分割


 図は、平面内の 5本の直線で 交点が 8個できて 平面が 14個のエリアに分かれていて、

 そのうちの 4個のエリアの面積が有限であることを表しています。

 では、平面内の何本かの直線で 交点が 1081個できて 有限な面積のエリアが 1035個あるとき、

 分かれた平面のエリアは 全部で何個?

 ただし、どの3本の直線も1点で交わらないものとします。


[解答1]

 直線の数を L ,交点の数を P ,エリア全部の数を A ,有限な面積のエリアの数を a とすれば、

 平行線でなければ、2本の直線で交点が1個決まり、

 1本の直線を固定すれば、有限なエリアはその他の2直線を選んで1個増えることになるので、

 平行になる2本の直線の組は、L2-P=L-12-a 、

 L(L-1)/2-P=(L-1)(L-2)/2-a 、L2/2-L/2-P=L2/2-3L/2+1-a 、L=P-a+1 です。

 次に、右図のように、すべての交点を内部にもつ閉曲線と 全部の直線で 2L 個の交点ができ、

 その間が 無限の面積のエリアだから、A-a=2L 、A=a+2L=a+2(P-a+1)=2P+2-a です。

 本問の場合、A=2・1081+2-1035=1129 です。

 このとき、L=P-a+1=1081-1035+1=47 、

 平行になる2本の直線の組は L-12-a=462-1035=0 です。


[解答2]

 直線の数を L ,交点の数を P ,エリア全部の数を A ,有限な面積のエリアの数を a とすれば、

 P≦L2 、P≦L(L-1)/2 です。

 中図の赤い直線のように、他の3直線と交わっている直線を除けば、交点は3個減り、

 エリアの数は4個減ります。

 一般に n 本の直線と交わっている直線1本を除けば、交点は n 個減り、エリアは (n+1)個減るので、

 L+P-A は一定値になります。

 直線を全部除くと、L=0,P=0,A=1 だから、L+P-A=-1 、L=A-P-1 です。

 次に、右図のように、すべての交点を内部にもつ閉曲線と 全部の直線で 2L 個の交点ができ、

 その間が 無限の面積のエリアだから、A-a=2L です。

 よって、A-a=2(A-P-1) 、A=2P+2-a です。

 本問の場合、A=2・1081+2-1035=1129 です。

 このとき、L=A-P-1=1129-1081-1=47 、L(L-1)/2=47・46/2=1081=P なので、

 平行線がない 47本の直線で平面を分けた場合です。

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Comments 18

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ひとりしずか  
No title

タマスダレでしょうか~
びっしりと……

樹☆  
No title

おはようございます
今朝は涼しく迎えてます。
秋の気配感じてます。
玉すだれですか?
いっぱいあると見応え充分ですね。可憐で清楚なお花です。

pea*hb*zu  
No title

この関係式は知りませんでした。これには、、名前がついてるのでしょうか?

ニリンソウ  
No title

タマスダレいいですね~昼咲いて夜閉じます。
開いたら撮ろう、明日にしよう・・・
あもう終わりに近くなってしまいました。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
お~これだけびっしりと咲くタマスダレも珍しいですね~。
綺麗に咲き揃いましたね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、タマスダレです。沢山咲いていました。
これだけ密集して咲く姿は初めてなのでカメラに収めました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
この頃朝は涼しいですね。
今日は雨が降ったため、最高気温も低いものでした。
タマスダレも密集すると可憐とか清楚という言葉から遠くなるかも知れません。

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、コメントをありがとうございます。
「この関係式」というのはどの式を指すのか分かりませんが、
名前のついているものなど無いと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タマスダレはよく見かける花なので、撮っていなかったのですが、
このような密集した姿を見るのが初めてなので、撮ってみました。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントをありがとうございます。
これだけきれいに咲き揃っているのは見たことがありませんでした。
2度と見られないかも知れず、撮ってみました。

pea*hb*zu  
No title

L=A-P-1 です.

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、コメントをありがとうございます。
解答に書きましたように簡単に導くことができる式です。
特別な名前があるように思いませんが、
あれば私の勉強不足です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
パッと顔を上げ、みんな上を向いているように見えます♪
元気をもらえました(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしは…
有限でない部分は2n
ある直線に平行な直線がm本…(1種類のときだけですけど…^^;)
(n-m)(n-m-1)/2+m(n-m)=1081,
(n-m)(n-m+1)/2+1+m(n-m+1)-2n=1035

として考え…
平行線0のときと、1本のときと同じになってしまいましたが…^^;
同じになるわけがないですわねぇ…Orz…

で、平行線の傾きが異なるものがある場合は分かりませんでした…^^;;

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
みんなが一斉に上向きに花を咲かせていました。
集団での美しさを感じました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
平行線が何組あっても解けるように、上記の解き方を考えました。
そんな工夫が必要な問題です。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
シンクロにして☆
昨日小雨の中でわたしもこの花見つけて写メってました ^^
ただ、名前が出て来なくって…iフォン持ってる方が写メって、それに向かって、「この花の名前は何?」って問いかけてました!!白雪姫の魔法の鏡みたい ^^…but…答えてくれませんでした…^^;
そっか、「たますだれ」でしたか♪。。。以前、教えてもらったはずでしたのに...思い出せませんでした…^^;;…Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
タマスダレはよく見かける花だと思います。
記憶力をあまり必要としない時代がくるかも知れませんが、
iフォンで写メって、人の個人情報まで分かれば怖いです。