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[答1130] 円に内接する四角形

ヤドカリ

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[答1130] 円に内接する四角形


 面積が 448 の 四角形ABCDは 円に内接し、AB<CD ,BC=17 ,DA=29 で、対角線が直交します。

 この四角形の辺 AB=? CD=? また、外接円の直径は?


[解答1]

 対角線の交点を P とします。下図のように、

 △BCP∽△ADP で、相似比が 17:29 なので、BP=17p ,CP=17q ,AP=29p ,DP=29q とすれば、

 p2+q2=1 です。

 また、四角形ABCDの面積は (29p・17p+17p・17q+17q・29q+29q・29p)/2=448 だから、

 493(p2+q2)+1130pq=896 、493+1130pq=896 、pq=403/1130 で、

 (p+q)2=p2+q2+2pq=1+2・pq=403/1130=1936/1130 、p+q=44/√1130 です。

 よって、p,q を解とする2次方程式は、x2-44x/√1130+403/1130=0 になり、

 (x-13/√1130)(x-31/√1130)=0 、x=13/√1130,31/√1130 になり、

 AB<CD より p<q だから、p=13/√1130 ,q=31/√1130 です。

 AB2=(17p)2+(29p)2=1130p2=1130・132/1130=132

 CD2=(17q)2+(29q)2=1130q2=1130・312/1130=312

 よって、AB=13 ,CD=31 です。

 次に、直径BEを描けば、∠APB=∠ECB=90゚,∠BAP=∠BEC だから、△APB∽△ECB 、

 PB:CB=AB:EB 、17p:17=13:EB 、EB=13・17/(17p)=13/p=13/(13/√1130)=√1130 です。


[解答2]

 対角線の交点を P とします。

 三平方の定理より、AB2+CD2=AP2+BP2+CP2+DP2=BP2+CP2+DP2+AP2=BC2+DA2

 右上図のように、△ABCの上下を逆にすれば、AB2+CD2=BC2+DA2 が外接円の直径の2乗になり、

 BC2+DA2=172+292=1130 だから、直径は √1130 です。

 トレミーの定理より AB・CD+BC・DA=AC・BD 、AB・CD+17・29=2・448 、AB・CD=403 です。

 AB2+CD2=1130 だから、(AB+CD)2=1130+2・403=1936 、AB+CD=44 です。

 よって、AB,CD を解とする2次方程式は、x2-44x+403=0 になり、

 (x-13)(x-31)=0 、x=13,31 になり、AB<CD より AB=13 ,CD=31 です。

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Comments 8

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ひとりしずか  
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オミナエシ好きな花!

アキチャン  
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こんばんわ。
オミナエシ、これは先日見ました。秋ですね(o^-^o)

ニリンソウ  
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こんばんは~
青空に黄色い花はキオンかな。。。。
高原へ行ってきましたか?

ナイス

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
[解法1]で満足してましたが…
[解法2]は素敵ですね☆
勉強になりましたぁ~Orz~♪

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
オミナエシは本当に秋を感じる花ですね。
黄色が爽やかに思えます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
秋の七草のオミナエシは秋の高い空に似合います。
アキチャンさんも秋を感じたようですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
単にオミナエシです。
花の量が多いので、見間違えされたのだと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
[解法2]の答の直径から捻って問題を作りました。
与えられた2数の平方の和で見え見えだと思っていました。