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[答1131] 五面体の体積

ヤドカリ

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[答1131] 五面体の体積


 図のような展開図で表され、辺の長さがすべて 4 または 2 で、長方形以外の4面の面積が等しい

 五面体の体積を V とするとき V=?


[解答1]

 a>0 ,b>0 とし、空間座標でこの五面体の頂点を次のように定めます。

 O(0,0,0),A(2√3,2,0),B(2√3,-2,0),C(a,0,b),D(a+2√3,2,b),E(a+2√3,-2,b)

 ベクトル OA,OC の内積は (2√3)a=4・2・cos60゚ だから、a=2/√3 、

 OC2=4 より a2+b2=4 、4/3+b2=4 、b2=8/3 、b=(2√2)/√3 です。

 △OAB=(1/2)・4・4・cos60゚=4√3 、V=(△OAB)b=(4√3)(2√2)/√3=8√2=11.3137…… です。


[解答2]

 図のように、立方体を3つの頂点を通る平面で切断し、できた水色・ピンク・黄緑の正三角錐を

 別の面につけていくと、正四面体と正四角錐に分けることができる立体になり、

 もとの立方体の1辺が 2√2 とすれば、その立体の展開図は右下の図のようになります。

 これは、求める立体の体積の2倍になりますので、V=(2√2)3/2=8√2=11.3137…… です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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今朝8.5℃、
花の色にほのかに温かさ感じます~

アキチャン  
No title

おはようございます。
なんとも寂しげな表情に見えてますが、後ろのススキのせいでしょうか、それとも私の気のせいでしょうか?(o^-^o)

ニリンソウ  
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こんにちは~クリーム色の花が酢の物で頂く?
花オクラでしょうか。
オクラのようになった実がとても堅かった!

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは...真ん中の水平面で切断した上の凸部分を下の凹部分にはめ込むと…三角柱と考えて求めました…^^
4^2-2^2=12
12-2^2=8
底辺4高さ√8の△の高さ2の三角柱…
so…(4*√8/2)*2=8√2
みたいなことで…Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
クリーム色の花は扇風機の羽根みたいな形をしてますね~。
奥に靡くススキがまた秋を感じられていいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
黄色の花には暖かさが感じられますね。
春なら黄色にもっと暖かさを感じるかもしれません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
秋は寂しい季節ですので仕方ないでしょう。
昼間が短いだけでなく、今朝の気温も影響しているのではないでしょうか。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
花の下に少し写っていますが、実もたくさんついていました。
野菜ですが、花は美しいと思います。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
正八面体の半分と正四面体を組み合わせていて作った問題です。
解くのは易しかったと思います。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は連想しませんでしたが、仰る通り、扇風機の羽根みたいです。
ススキが秋を感じさせますね。