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[答1132] 表が2枚以下の確率

ヤドカリ

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[答1132] 表が2枚以下の確率


 コインn枚を投げて 表が2枚以下である確率を P(n) とするとき、

 P(m)=2P(n) を満たす 自然数と確率の組(m,n,P(n))=?

 ただし、どのコインも投げたとき表も裏も 1/2 の確率で出るものとします。


[解答]

 P(n) は明らかに単調減少ですので、P(m)=2P(n) のとき、m<n になり、n=m+k とします。

 P(n)=n0(1/2)nn1(1/2)nn2(1/2)n=1/2n+n/2n+n(n-1)/2n+1

 P(n)=(n2+n+2)/2n+1 です。

 P(m)=2P(m+k) より、(m2+m+2)/2m+1=2{(m+k)2+(m+k)+2}/2m+k+1

 2k-1(m2+m+2)=(m+k)2+(m+k)+2 、

 2k-1m2+2k-1m+2k=m2+2km+k2+m+k+2 、

 (2k-1-1)m2+(2k-1-2k-1)m+(2k-k2-k-2)=0 、

 ここで、f(k)=2k-1-2k-1 ,g(k)=2k-k2-k-2 とおけば、

 f(5)=24-2・5-1>0 ,g(5)=25-52-5-2=0 で、k≧5 のとき、

 f(k+1)=2k-2k-3=2(2k-1-2k-1)+2k-1 だから、

 f(k+1)=2f(k)+2k-1>2f(k) 、

 g(k+1)=2k+1-k2-3k-4=2(2k-k2-k-2)+k2-k だから、

 g(k+1)=2g(k)+k2-k>2g(k) 、

 よって、k≧5 のとき 2k-1-2k-1=f(k)>0 ,2k-k2-k-2=g(k)≧0 になり、

 (2k-1-1)m2+(2k-1-2k-1)m+(2k-k2-k-2)=0 は、

 自然数解mをもたないことになります。

 k=4 のとき、7m2-m-6=0 、m=1,n=5 です。

 k=3 のとき、3m2-3m-6=0 、m=2,n=5 です。

 k=2 のとき、m2-3m-4=0 、m=4,n=6 です。

 k=1 のとき、-2m-2=0 は自然数解mをもちません。

 P(5)=(52+5+2)/26=1/2 ,P(6)=(62+6+2)/27=11/32 だから、

 (m,n,P(n))=(1,5,1/2),(2,5,1/2),(4,6,11/32) です。

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Comments 10

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樹☆  
No title

こんにちは
お久しぶりです。もう10月となり朝は寒いくらいです。
大好きなこすもすが咲く季節ですね。
今月もよろしくお願いします。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
奇麗なアースカラーですね🌸

わたしは…
nC0+nC1+nC2=nC(n-2)+nC(n-1)+nCn
を中心にアバウトに考えるしかなかったです…^^;
ラッキーでした ^^ Orz~

ニリンソウ  
No title

優しい色のコスモス撮りましたね。
秋深くなってもまだまだ田んぼ道、畑などで見れる花です。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
お~秋空に向かって咲くコスモスが綺麗ですね~。
これからコスモスが盛りになるので楽しみですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
朝は私も寒く感じますが、昼は晴れたら暑いです。
気温差に体調を崩すことなく、揺れるコスモスでも見るのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
コスモスの後方は薄曇りの空でした。
ところで、この問題は丁寧に検討すればできるはずです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ピンクのコスモスが薄曇りの空のもとで咲いていました。
田んぼにも咲いていましたが、空を背景にするのが好きです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コスモスの季節はこれからですね。
また、見に行かないといけないと思っています。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
わ~♪きれい♪やさしいピンクの花びらが透き通って空に映えてますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
コスモスは秋らしい花ですね。
風を感じさせますし、空も引き立ちます。