[答110] 三角形の内部の六角形の面積
[答110] 三角形の内部の六角形の面積
三角形の各頂点と対辺を3等分する点をつなぐ線分6本で三角形の内部に六角形ができます。
もとの三角形の面積を1とすると、内部にできたこの六角形の面積は?
[解答]
まず、右の図で一般化しておきます。
△AWBでメネラウスの定理より、(AZ/ZW)(WC/CB)(BX/XA)=1、(AZ/ZW)(WC/CB)=AX/XB、
△AWCでメネラウスの定理より、(AZ/ZW)(WB/BC)(CY/YA)=1、(AZ/ZW)(WB/BC)=AY/YB、
この結果を加えると、
(AZ/ZW){(WC/CB)+(WB/BC)}=AX/XB+AY/YB、AZ/ZW=AX/XB+AY/YB になります。
また、△AZB/△ZWB=AZ/ZW、△AZC/△ZWC=AZ/ZW だがら、
四角形ABZC/△ZBC=AZ/ZW=AX/XB+AY/YB になります。
次に、左下図のように点の名前をつけておきます。
四角形ABPC/△PBC=AD/DB+AE/EC=1/2+1/2=1/1、四角形ABPC:△PBC=1:1、
よって、△PBC=(1/2)△ABC=1/2、同様に、△RCA=1/2、△TAB=1/2。
四角形ABSC/△SBC=AF/FB+AG/GC=2/1+2/1=4/1、四角形ABSC:△SBC=4:1、
よって、△SBC=(1/5)△ABC=1/5、同様に、△UCA=1/5、△QAB=1/5。
六角形PQRSTU=△PBC+△RCA+△TAB+△SBC+△UCA+△QAB-2△ABC
=1/2+1/2+1/2+1/5+1/5+1/5-2=1/10 となります。
.