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[答110] 三角形の内部の六角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答110] 三角形の内部の六角形の面積


 三角形の各頂点と対辺を3等分する点をつなぐ線分6本で三角形の内部に六角形ができます。

 もとの三角形の面積を1とすると、内部にできたこの六角形の面積は?


[解答]

 まず、右の図で一般化しておきます。

 △AWBでメネラウスの定理より、(AZ/ZW)(WC/CB)(BX/XA)=1、(AZ/ZW)(WC/CB)=AX/XB、

 △AWCでメネラウスの定理より、(AZ/ZW)(WB/BC)(CY/YA)=1、(AZ/ZW)(WB/BC)=AY/YB、

 この結果を加えると、

 (AZ/ZW){(WC/CB)+(WB/BC)}=AX/XB+AY/YB、AZ/ZW=AX/XB+AY/YB になります。

 また、△AZB/△ZWB=AZ/ZW、△AZC/△ZWC=AZ/ZW だがら、

 四角形ABZC/△ZBC=AZ/ZW=AX/XB+AY/YB になります。


 次に、左下図のように点の名前をつけておきます。

 四角形ABPC/△PBC=AD/DB+AE/EC=1/2+1/2=1/1、四角形ABPC:△PBC=1:1、

 よって、△PBC=(1/2)△ABC=1/2、同様に、△RCA=1/2、△TAB=1/2。

 四角形ABSC/△SBC=AF/FB+AG/GC=2/1+2/1=4/1、四角形ABSC:△SBC=4:1、

 よって、△SBC=(1/5)△ABC=1/5、同様に、△UCA=1/5、△QAB=1/5。

 六角形PQRSTU=△PBC+△RCA+△TAB+△SBC+△UCA+△QAB-2△ABC

  =1/2+1/2+1/2+1/5+1/5+1/5-2=1/10 となります。

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Comments 2

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アキチャン  
No title

おはようございます。
ネコヤナギでしょうか?・・・色が赤いですね。。
かわいいです (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
これも緑化センターで撮ったもので、もっと早く使えばよかったです。
第112問の写真ように、カサブランカの横では脇役になってしまいますので、
主役になっている写真をUPしました。