[答110] 三角形の内部の六角形の面積

[答110] 三角形の内部の六角形の面積


　三角形の各頂点と対辺を３等分する点をつなぐ線分６本で三角形の内部に六角形ができます。

　もとの三角形の面積を１とすると、内部にできたこの六角形の面積は？


[解答]

　まず、右の図で一般化しておきます。

　△AWBでメネラウスの定理より、(AZ/ZW)(WC/CB)(BX/XA)＝1、(AZ/ZW)(WC/CB)＝AX/XB、

　△AWCでメネラウスの定理より、(AZ/ZW)(WB/BC)(CY/YA)＝1、(AZ/ZW)(WB/BC)＝AY/YB、

　この結果を加えると、

　(AZ/ZW){(WC/CB)＋(WB/BC)}＝AX/XB＋AY/YB、AZ/ZW＝AX/XB＋AY/YB になります。

　また、△AZB/△ZWB＝AZ/ZW、△AZC/△ZWC＝AZ/ZW だがら、

　四角形ABZC/△ZBC＝AZ/ZW＝AX/XB＋AY/YB になります。


　次に、左下図のように点の名前をつけておきます。

　四角形ABPC/△PBC＝AD/DB＋AE/EC＝1/2＋1/2＝1/1、四角形ABPC：△PBC＝1：1、

　よって、△PBC＝(1/2)△ABC＝1/2、同様に、△RCA＝1/2、△TAB＝1/2。

　四角形ABSC/△SBC＝AF/FB＋AG/GC＝2/1＋2/1＝4/1、四角形ABSC：△SBC＝4：1、

　よって、△SBC＝(1/5)△ABC＝1/5、同様に、△UCA＝1/5、△QAB＝1/5。

　六角形PQRSTU＝△PBC＋△RCA＋△TAB＋△SBC＋△UCA＋△QAB－2△ABC

　 ＝1/2＋1/2＋1/2＋1/5＋1/5＋1/5－2＝1/10 となります。

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