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[答1135] 内部の点と頂点の距離

ヤドカリ

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[答1135] 内部の点と頂点の距離


 BC=5,CA=7,AB=8 である △ABC の内部に 点Pがあって、

 ∠BPC=∠CPA=∠APB=120゚ であるとき、PA+PB+PC=?


[解答1]

 cos∠ABC=(82+52-72)/(2・8・5)=1/2 だから、∠ABC=60゚ です。

 正三角形BDCと△BPCの外接円を描けば、

 ∠BPC+∠BDC=120゚+60゚=180゚ だから、Dも円周上にあり、

 ∠APB+∠BPD=120゚+60゚=180゚ だから、A,P,Dは一直線上にあります。

 また、トレミーの定理より PB・CD+PC・BD=PD・BC で、CD=BD=BC だから、PB+PC=PD です。

 ∠ABD=120゚ だから、AD2=82+52-2・8・5・cos120゚=129 で、

 PA+PB+PC=PA+PD=AD=√129 です。


[解答2]

 PA=x,PB=y,PC=z とおくと、∠BPC=∠CPA=∠APB=120゚ だから、

 余弦定理より、y2+z2-2yz・cos120゚=BC2 、y2+z2+yz=BC2

 △PBC=(1/2)yz・sin120゚ だから、yz=2△PBC/sin120゚=4△PBC/√3 、3yz=(4√3)△PBC 、

 よって、y2+z2+4yz=BC2+(4√3)△PBC です。

 同様に、z2+x2+4zx=CA2+(4√3)△PCA ,x2+y2+4xy=AB2+(4√3)△PAB ですので、

 辺々加えて、2x2+2y2+2z2+4yz+4zx+4xy=BC2+CA2+AB2+(4√3)△ABC 、

 2で割って、(x+y+z)2=(BC2+CA2+AB2)/2+(2√3)△ABC です。

 本問では、(5+7+8)/2=10 、△ABC=√{10(10-5)(10-7)(10-8)}=10√3 ですので、

 (x+y+z)2=(52+72+82)/2+(2√3)(10√3)=69+60=129 、

 PA+PB+PC=x+y+z=√129 です。


[参考]

 [解答2]で面積を使わずに、余弦定理だけで解くと、

 y2+z2+yz=25 ……(1) ,z2+x2+zx=49 ……(2) ,x2+y2+xy=64 ……(3)

 (1)-(2) より、(y+x)(y-x)+z(y-x)=-24 、(x+y+z)(y-x)=-24 、

 (1)-(3) より、(z+x)(z-x)+y(z-x)=-39 、(x+y+z)(z-x)=-39 、

 x+y+z=k とおけば、y-x=-24/k ,z-x=-39/k 、y=x-24/k ,z=x-39/k で、

 x+y+z=k に代入すれば、x+x-24/k+x-39/k=k 、x=k/3+21/k になり、

 y=x-24/k=k/3-3/k ,z=x-39/k=k/3-18/k で、x>y>z>0 より、k>√54 です。

 (1) に代入して、(k/3-3/k)2+(k/3-18/k)2+(k/3-3/k)(k/3-18/k)=25 、

 k2/9-2+9/k2+k2/9-12+324/k2+k2/9-7+54/k2=25 、

 k2/3-46+387/k2=0 、k4-138k2+1161=0 、(k2-9)(k2-129)=0 、k=√129 です。

 よって、x+y+z=√129 です。なお、x,y,z は以下の通りです。

  x=k/3+21/k=(k2+63)/(3k)=(129+63)/(3k)=64/k=64/√129 、

  y=k/3-3/k=(k2-9)/(3k)=(129-9)/(3k)=40/k=40/√129 、

  z=k/3-18/k=(k2-54)/(3k)=(129-54)/(3k)=25/k=25/√129 。

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Comments 14

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樹☆  
No title

おはようございます
アキチョウジでしょうか。
陽に当たって、透けた感じが
すてきに撮れてますね。

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
今日からグンと気温も低く雨の朝、午後には止むらしいが
山には行けない。
林の中で「アキチョウジ」でしょうか。

ナイス

ひとりしずか  
No title

アキチョウジかなぁ~
花の形がユニーク……

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~
今日は気温がぐんと下がっているとか・・・
体調に気を付けてお過ごしください。

ブルーのお花は何だろう。。。。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
フェルマー点だから図形的に、[解答1]で求まるはずだったのに…
cos60°の値を√3/2と何故かミスって...奇麗な値にならず…参考記事の立式するも手計算じゃ分からず…PC頼みという体たらくでしたぁ…^^;
[解答2]はなるほどですね☆…Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
この花は何でしょうか。
黄色い蕾から紫の花が咲くのもまたギャップがあっていいですね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、アキチョウジです。
オートフォーカスではなかなかピントが合わずに苦労する花ですが、
背景がうまくボケてくれました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
アキチョウジの花、目立ちませんが、見ると気持ちが和みます。
ところで、大気が不安てですね。出かけるかどうか難しいです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、アキチョウジです。
細長い花もけっこうありますね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
花はアキチョウジという野草です。
ところで、気温差疲労という言葉もあるそうです。
お互いに気を付けないといけませんね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
余弦定理だけで解けますが、
[解答2]のように式を1つ加えると計算が楽になりますね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
アキチョウジという野草です。
ひっそりと咲く野草も魅力的ですね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
よく見たような気がしますが、アキチョウジっていうのですね。
ほんとうに、きれい♪(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
野草の素朴な美しさはいいですね。
品種改良された園芸種もいいですが。