FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1136] 三角形の面積比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答1136] 三角形の面積比


 AB:AC=25:36 ,∠ABC=2∠ACB である △ABCの内心を I とするとき、△IBC:△ABC=?


[解答1]

 ∠ACB=θ とすれば、∠ABC=2θ ,∠BAC=π-3θ になり、

 BC:CA:AB=sin(π-3θ):sin2θ:sinθ=(3sinθ-4sin3θ):2sinθcosθ:sinθ

  =(3-4sin2θ):2cosθ:1=(4cos2θ-1):2cosθ:1 になり、

 CA:AB=2cosθ:1=36:25 、cosθ=18/25 です。

 BC:CA:AB=(4・182/252-1):2・18/25:1=(4・182-252):2・18・25:252

  =61・11:36・25:252 です。

 △IBC:△ABC=BC:(BC+CA+AB)=61・11:(61・11+36・25+252)=61・11:(61・11+61・25)

  =11:(11+25)=11:36 です。


[解答2]

 BI の延長と 辺AC の交点を P とすれば、∠PBC=∠PCB より PB=PC です。

 また、△ABP∽△ACB で 相似比は AB:AC=25:36 、よって、AP:AB=25:36 ,PB:BC=25:36 、

 加比の理より、(AP+PB):(AB+BC)=25:36 、(AP+PC):(AB+BC)=25:36 、

 AC:(AB+BC)=25:36=25・36:362 であり、AC:AB=36:25=36・25:252 なので、

 AC:AB:BC=36・25:252:(362-252)=36・25:252:61・11 です。

 △IBC:△ABC=BC:(BC+CA+AB)=61・11:(61・11+36・25+252)=61・11:(61・11+61・25)

  =11:(11+25)=11:36 です。


[解答3]

 ∠IBC の二等分線と 辺AC の交点を Q とすれば、△IBC≡△QCB で、

 ∠ABQ=∠AQB になり、AB=AQ です。

 △IBC:△ABC=△QCB:△ABC=QC:AC=(AC-AQ):AC=(AC-AB):AC=(36-25):36=11:36 です。

.

スポンサーサイト



Comments 12

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

シオン?
区別がつかないのでみんな野菊にしてしまいます
野菊はどれも好きです

ニリンソウ  
No title

こんにちは~~寒くなりました!
秋は菊の季節ですね、この菊は野菊?
ノコンギクかな、シオンかな
陽のあたり具合を上手く捉えて綺麗です。

ナイス

樹☆  
No title

こんばんは
ノコンギクでしょうか?
たくさんのお花で可愛いですね。。
よく降る雨です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
シオンでしょうか。この形態のお花は全部「野菊」と呼んでしまいます。
見るといつも「きれいな野菊~薄むらさきよ♪」と唱歌を歌ってしまいます(笑)(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
Aha~☆
[解答3]は気付けませんでしたが…鮮やかね♪
幾何はこれがあるから難しくも面白し ^^;☆

POPS  
No title

こんばんは。
菊の花が綺麗に咲いてますね~。
これからは色々な場所で菊花展も開催されるので、楽しみです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、シオンです。
薄紫色の野菊で、秋に見るのが楽しみな花です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
仰る通り、シオンの花です。
背景の木々から都合よく光が差し込んでくれました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
シオンの花です。
珍しい花ではありませんが、かたまって咲くと見ごたえがありますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は「きれいな野菊~薄むらさきよ♪」という唱歌は知りませんが、
唱歌の歌詞に出てきても不思議ではありません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私は[解答3]に気づいてこの問題を作りました。
同じ問題を簡単に解くのが醍醐味ですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
菊花展や菊人形の季節がやってきますね。
野菊もその季節の到来を知らせてくれているように思えます。