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[答1137] 漸化式で表される数列の下4桁

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1137] 漸化式で表される数列の下4桁


 a1=6401 ,a2=-3498 ,an+2=(an+1-an)2+an+1 で表される数列{ an }について、

 第1137項 a1137 の下4桁は?


[解答]

 a3=(a2-a1)2+a1+1>0 、a4=(a3-a2)2+a2+1>34982-3498+1>0 、

 an>0 のとき an+2=(an+1-an)2+an+1>0 だから、n≠2 のとき an>0 になります。

 以下、合同式は mod 10000 とします。

 a2-a1=-3498-6401=-9899≡101 になり、

 an+2-an+1=(an+1-an)2-an+1+an+1=(an+1-an)(an+1-an-1)+1 なので、

 an+1-an≡101 のとき、an+2-an+1≡101・100+1=10101≡101 になり、

 初項が a1=6401 ,公差が 101 の等差数列の第n項 と an は、n≠2 のとき 下4桁が一致します。

 この等差数列の第1137項は 6401+101・1136=6401+113600+1136=121137 、

 よって、a1137 の下4桁は 1137 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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これはなんというお花?

ニリンソウ  
No title

おはようございます。
今日の花は私が山でよく見る「ヤマハハコ」に
そっくりだけど?

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
ヤマハハコですね。
この白くて小さな野の花、大好きだわ~
道東はもう花期が終わりました。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
よく分かりました☆
式変形思いつけるかどうかでしたのね...^^;
つらつら眺めてましたが何にも気付けず...撃沈...
帰納法を使うことはよぎりもしませんでした...^^; Orz...;

POPS  
No title

こんばんは。
この花も初めて見たかもしれません。
白と黄色の花が優しい雰囲気がして綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
カワラハハコという野草です。
よく見ると面白い花ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
調べるとヤマハハコにそっくりですが、カワラハハコといいます。
ヤマハハコの方を見る機会がありませんので、違いは分かりません。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ヤマハハコに似ていますが、カワラハハコといいます。
詳しいことは分かりませんが、植生が違うのでしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
式変形より、愚直に最初の数項を求めると類推できると思います。
類推できれば、数学的帰納法も思いつくかも知れません。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私たちが知らない花もたくさんありますね。
今後も健康でいろいろな花を見たいです。

樹☆  
No title

こんばんは
この花見たことありますが
カワラハハコというのですね。
キュートなお花です。

週末台風の進路には気をつけてくださいね

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
雑草のような植物ですが、よく見ると小さな花が可愛いです。
ところで、台風は気になりますね。
お互い進路には注意しないといけませんね。

アキチャン  
No title

かわいいお花、見たことがないような?
台風、気になりますね(´・_・`)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントをありがとうございます。
小さな花ですが、よく見ると味わいがあります。
ところで、台風は近畿や東海あたりがヤバそうです。