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[答1140] 4数の和が117

ヤドカリ

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[答1140] 4数の和が117


 加える順序を無視して4つの自然数の和で 7 を表す方法は

  1+1+1+4,1+1+2+3,1+2+2+2 の 3通りです。

 では、加える順序を無視して4つの自然数の和で 117 を表す方法は何通り?


[解答]

 a,b,c,d を自然数として 117=a+b+c+d (a≦b≦c≦d)とすれば、a≦29 です。

 a=1 のとき b+c+d=116 、a=2 のとき b+c+d=115 ,(b-1)+(c-1)+(d-1)=112 、

 a=3 のとき b+c+d=114 ,(b-2)+(c-2)+(d-2)=108 、……

 一般に b+c+d=117-a ,{b-(a-1)}+{c-(a-1)}+{d-(a-1)}=120-4a だから、

 a を指定すれば、3つの自然数の和で 120-4a を表す方法の数になります。

 [答1064] ( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2894.html ) のように、

 3つの自然数の和で 自然数 n を表す方法は、

  n≡0 (mod 6) の場合、n2/12 通り,

  n≡±1 (mod 6) の場合、(n2-1)/12 通り,

  n≡±2 (mod 6) の場合、(n2-4)/12 通り,

  n≡3 (mod 6) の場合、(n2+3)/12 通りであり、

 a が3の倍数であれば 120-4a≡0 (mod 6),a が3の倍数でなければ 120-4a≡±2 (mod 6) 、

 よって、(120-4a)2/12=16(30-a)2/12=4(900-60a+a2)/3 を、

 a=1,2,……,29 として加え、3の倍数でない20個については 1/3 を引くことになります。

 従って、4(900・29-60・29・30/2+29・30・59/6)/3-20/3=4(29・30・59/6-5)/3=11400 通りです。

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Comments 10

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樹☆  
No title

おはようございます
うつむき加減に咲く花はチャノキでしょうか
白い花って楚々とした感じで好きです。

台風一過で秋空が広がってます。

ひとりしずか  
No title

茶の花、華麗さを潜めているような~

ニリンソウ  
No title

お茶ですね、今我が家でも咲いてるんです!
昔子供の頃には茶畑があって茶摘みもして
自家製のお茶を飲んでいました。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
この花は椿でしょうか。
真っ白な花が上品で綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、チャノキです。
涼しくなって俯き加減に咲く茶の花も魅力的です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
茶の花、椿のように立派な蕊があって、
観賞用ではありませんが、十分に観賞に耐えられますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントをありがとうございます。
家にチャノキがあるなんて素敵ですね。
自家製のお茶なんて、私は飲んだことがありません。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
お茶の樹の花です。茶もツバキ科ツバキ属ですので、
椿の花と酷似していますね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
解答のような方法は思いつきもせず…^^;
(以前解説されていたようでしたのですが理解できてないわたし…)
で...ひたすら地道に計算行わざるを得ませんでしたわ…^^;;…Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
自然数を3個の自然数の和で表す方法は、
正多角形の頂点を結ぶ三角形の個数として、
貴殿も最近とりあげておられたと思います。
それをもとにしての解答です。