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[答1142] 三角形の面積

ヤドカリ

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[答1142] 三角形の面積


 図のように、△ABCの辺BC,CA,ABを 3:1 に内分する点をD,E,Fとして、

 線分AD,BE,CFで囲まれる△PQRを作り、次に、直線AP,BQ,CRで囲まれる△STUを作ります。

 △PQR=5 のとき、△STU=?


[解答]

 △EBAと直線FCでメネラウスの定理より、(EP/PB)(BF/FA)(AC/CE)=1 、

 BP/PE=(BF/FA)(AC/CE)=(1/3)(4/3)=4/9 、BP/BE=4/13 になり、

 △BCP=(BP/BE)△BCE=(BP/BE)(EC/AC)△ABC=(4/13)(3/4)△ABC=(3/13)△ABC 、

 同様に △CAQ=△ABR=(3/13)△ABC 、

 △PQR=△ABC-(△BCP+△CAQ+△ABR)=(1-3・3/13)△ABC=(4/13)△ABC 、

 △ABC=(13/4)△PQR です。

 次に、APの延長とBCの交点,BQの延長とCAの交点,CRの延長とABの交点をそれぞれX,Y,Zとします。

 △ABCと点Pでチェバの定理より、(CX/XB)(BF/FA)(AE/EC)=1 、

 BX/XC=(BF/FA)(AE/EC)=(1/3)(1/3)=1/9 、BX:XC=1:9 、同様に、CY:YA=AZ:AB=1:9 です。

 △ABYと直線CZでメネラウスの定理より、(YT/TB)(BZ/ZA)(AC/CY)=1 、

 BT/TY=(BZ/ZA)(AC/CY)=(9/1)(10/1)=90/1 、BT/BY=90/91 になり、

 △BCT=(BT/BY)△BCY=(BT/BY)(CY/CA)△ABC=(90/91)(1/10)△ABC=(9/91)△ABC 、

 同様に △CAU=△ABS=(9/91)△ABC 、

 △STU=△ABC-(△BCT+△CAU+△ABS)=(1-3・9/91)△ABC=(64/91)△ABC

  =(64/91)(13/4)△PQR=(16/7)△PQR=5・16/7=80/7=11.42857…… です。


[参考]

 BD:DC=CE:EA=AF:FB=m:n とすれば、△PQR/△ABC=(m-n)2/(m2+mn+n2) です。

 これを準備しておけば、△PQR/△ABC=4/13 ,△STU/△ABC=64/91 がすぐに計算できます。

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Comments 8

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ひとりしずか  
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ホトトギス何度見ても不思議な~

スモークマン  
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グーテンターク ^^
メネラウスがどうも相性悪くて?覚える気になれないもので…^^;
例の平行四辺形を作って考えました…^^
二重で求める問題はありそうで初めてでしたわ☆

POPS  
No title

こんばんは。
ホトトギスが沢山咲いていて綺麗ですね~。
まだまだ楽しめそうです。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ホトトギスは本当に不思議な形・不思議な模様ですね。
そして、秋になれば見たい花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
メネラウスの定理はこのブログには必需品のようなもの。
平行線1本で証明できますが、補助線を描くと図が複雑になりますので、
補助線を使わずに済ませる定理とも言えます。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ホトトギスも秋の代表的な花、品種も多いです。
並んで沢山咲いている姿がいいですね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
最近遅れてm(_ _)m
ホトトギス、秋らしくていいですよね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
私もホトトギスの花は秋らしくていいなぁと感じます。
光が差し込んで、綺麗に見えました。