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[答1143] 3次方程式の実数解

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答1143] 3次方程式の実数解


 3次方程式 x3-60x-810=0 の実数解は?


[解答]

 a≦b ,a3+b3=-810 ,ab=20 とおけば、a3b3=8000 なので、

 a3,b3 は 2次方程式 t2+810t+8000=0 の解で、(t+800)(t+10)=0 、t=-800,-10 となり、

 a3=-800 ,b3=-10 、a=-2・3√100 ,b=-3√10 です。

 また、与えられた方程式 x3-60x-810=0 は、

 x3-3abx+a3+b3=0 、(x+a+b)(x2+a2+b2-ax-bx-ab)=0 、

 (x+a+b){(x-a)2+(x-b)2+(a-b)2}/2=0 、

 x は実数だから、x+a+b=0 または x=a=b ですが、a≠b より後者は適しません。

 よって、x=-a-b=2・3√100+3√10=11.4376…… です。


[参考]

 1 の虚数立方根を ω,ω2 とすれば、

 x3+a3+b3-3abx=(x+a+b)(x+aω+bω2)(x+aω2+bω)

 と、因数分解されますので、3つの解は、

 x=-a-b ,-aω-bω2 ,-aω2-bω です。

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Comments 11

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ひとりしずか  
No title

これは何でしょう~
バナナみたいのがいっぱい……

アキチャン  
No title

こんにちわ。
パット見、バナナのよう(笑)(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なるほど☆
[参考]記事にて...最初のような置き換えが唐突でもないことが了解できましたわ♪ カルダノさんの時代にそのように考えられたのはたまたまなのかも知れないですが?...メタな発想だと感心するばかりなり Orz~

ニリンソウ  
No title

花のようだけどバナナかな!
熟してるようですいい匂いしてますか。

ナイス

POPS  
No title

こんばんは。
この植物は何でしょうか?
小さなバナナの様にも見えますが、気になりますね。
ナイス

ヤドカリ  
No title


写真の植物はカンレンボクと呼ばれる落葉樹で、
原産は中国の中南部からチベットです。
丈夫で育てやすく、一つの果実に多くの種ができますので、
子孫繁栄につながると考えられ「喜樹」の別名があります。
実や根に含まれるカンプトテシンという物質の構造が、
抗がん剤の開発に大きく貢献したそうです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、カンレンボクと呼ばれる樹です。
形はバナナですが、小さいものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、カンレンボクと呼ばれる樹です。
小さいものですが、形はバナナのようですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
あの因数分解の公式はかなり奥の深い公式ですね。
高校時代に初めて見たときは、長い公式があるものだなぁと思いました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
上に記しましたように、カンレンボクの小さな実です。
匂いは感じませんでした。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
上に記しましたように、カンレンボクと呼ばれる樹です。
大正時代に日本に渡来し、街路樹や公園樹として使われるそうです。