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[答1146] 四角形の面積

ヤドカリ

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[答1146] 四角形の面積


 AB=15 ,BC=28 ,CD=21 ,DA=10 である四角形ABCDがあって、4つの内角 A,B,C,D が、

 sinAsinD=sinBsinC を満たしているとき、四角形ABCDの面積 S の値は?


[解答]

 2sinAsinD=2sinBsinC より cos(A-D)-cos(A+D)=cos(B-C)-cos(B+C) 、

 ここで、cos(A+D)=cos(2π-B-C)=cos(B+C) なので、cos(A-D)=cos(B-C) 、

 cos(A-D)-cos(B-C)=0 、-2sin{(A-D+B-C)/2}sin{(A-D-B+C)/2}=0 、

 sin{(A+B+2π-D-C)/2}sin{(A+C+2π-D-B)/2}=0 、

 sin{(A+B+A+B)/2}sin{(A+C+A+C)/2}=0 、sin(A+B)sin(A+C)=0 、

 ここで、0<A+B<2π ,0<A+C<2π なので、A+B=π または A+C=π です。

 A+B=π のとき AD//BC の台形になり、平行四辺形ABEDを作れば、

 △DECの3辺は 15,18,21 で、(15+18+21)/2=27 、ヘロンの公式により、

 △DEC=√{27(27-15)(27-18)(27-21)}=√(27・12・9・6)=54√6 、

 S={(28+10)/18}△DEC=(19/9)・54√6=114√6 になり、 

 A+B=π のとき 四角形ABCDが円に内接し、(15+28+21+10)/2=37 、ブラーマグプタの公式により、

 S=√{(37-15)(37-28)(37-21)(37-10)}=√(22・9・16・27)=36√66 になります。

 まとめると、S=114√6,36√66 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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ネリネかな……

雪をかぶった庭の草木ときれいに咲く写真の花
今、居間の障子にが~季節のギャップをうめてくれ~

ニリンソウ  
No title

造花みたいに綺麗です
これも今頃咲くのでネリネでしょうか?
見たことない気がします。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
和積の公式が使いこなせたらうまくいくものなのねぇ☆
わたしゃ結構な計算をしちゃいましたにも関わらず...2種類の□の姿の台形の方には気づけてませんでした...なんたるチア ^^;;...Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
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優しげな色のお花ですね。
彼岸花の種類かしら?
アガパンサスのお花にも似ていそう~~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、ネリネです。
ヒガンバナと違って、全体的に柔らかな感じがします。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
ネリネは晩秋になっても見られるのがいいですね。
仰る通り、造花のように整った形です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
三角関数には公式が沢山あります。
いろいろな公式が使えると嬉しいものです。
本問は、とりあえず和積公式を使ってみるような条件ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ネリネというヒガンバナ科の花です。
私は思い付かなかったのですが、アガパンサスもこんな茎ですね。

樹☆  
No title

こんばんは
きらきら輝いててきれいです。
この時期に咲くのですね。
ピンク乃色が優しいです。特に寒いときは
そう感じますね。

POPS  
No title

こんばんは。
リコリスでしょうか?
彼岸花見たいですが、色合いが明るくて綺麗ですね~。
ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ネリネはキラキラ輝くので、ダイヤモンドリリーとも言われます。
寒いときに咲く有難い花ですね。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ネリネです。リコリスも似ていますが、リコリスはもっと形がヒガンバナに似ています。
色が何種類かあって綺麗です。

アキチャン  
No title

淡いピンクがかわいいです♪
似たようなお花がたくさんありますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ネリネの花は何種類かの色がありますね。
そして、彼岸花により近いリコリスもいいですね。