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[答1147] 外心と交点の距離

ヤドカリ

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[答1147] 外心と交点の距離


 AB=44,AC=77,∠BAC=120゚ の △ABCがあって、

 ∠BACの二等分線とBCの交点をP,△ABCの外心をOとするとき、OP=?


[解答1]

 ∠BAC=120゚ だから、余弦定理より、

 BC2=AB2+AC2-2AB・ACcos120゚=442+772-2・44・77(-1/2)=112(16+49+28) 、

 BC=11√93 、円の半径をRとすれば、R=BC/√3=11√31 です。

 また、APは ∠BACの二等分線なので、BP:PC=BA:AC=44:77=4:7 となって、

 BP=(4/11)AC=4√93 です。

 ∠BOC=120゚ ,OB=OC だから、∠OBP=30゚ 、余弦定理より、

 OP2=BP2+BO2-2BP・BOcos30゚=(4√93)2+(11√31)2-2(4√93)(11√31)(√3)/2

  =16・93+121・31-44・93=31(48+121-132)=31・37=1147 、OP=√1147 です。


[解答2]

 CAの延長に Bからおろした垂線をBHとすれば、AH=22,BH=22√3 だから、

 BC2=992+(22√3)2=112(81+12) 、

 BC=11√93 、円の半径をRとすれば、R=BC/√3=11√31 です。

 また、APは ∠BACの二等分線なので、BP:PC=BA:AC=44:77=4:7 となって、

 BP=(4/11)AC=4√93 、PC=(7/11)AC=7√93 です。

 ここで、Pを通る直径の両端をQ,Rとすれば、方べきの定理より PB・PC=PQ・PR が成り立ち、

 (4√93)(7√93)=(11√31+OP)(11√31-OP) 、4・7・93=112・31-OP2

 OP2=112・31-4・7・93=31(112-4・7・3)=31・37=1147 、OP=√1147 です。

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Comments 10

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ひとりしずか  
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ニシキギの紅葉~
不思議な枝……

アキチャン  
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おはようございます。
どの木も紅葉ですね(o^-^o)

ニリンソウ  
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こんにちは~
何の紅葉でしょうネ。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
そっか!!
わたしは...BCを求めた後は、角の二等分線の性質とピタゴラスで求めましたが...解答の方が簡明ですわね ^^;v Orz~

POPS  
No title

こんばんは。
葉が赤く染まって晩秋を感じさせてくれますね~。
まだ一部の葉は緑の部分も見れるので、これから色づいていくのでしょうね。
ナイス

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
私はニシキギをあまり撮ったことはないのですが、
不思議な枝には惹きつけるものがありますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!をありがとうございます。
いろんな樹に紅葉が見られます。
ニシキギは紅葉も緑の葉もあり、彩が素敵です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
ニシキギという樹の紅葉です。
半分くらいの紅葉と、不思議な枝が印象的です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
解き方も色々ありますが、方べきの定理も使えるのが気に入っています。
思わぬ解法もあるものです。

ヤドカリ  
No title

POPSさん、コメントとナイス!をありがとうございます。
仰る通り、これからどんどん色づいてきます。
ニシキギの葉は紅葉と緑が混じって綺麗です。